Question

如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y的正半轴上，点B的坐标是（5，3），抛物线y=

3

5

x²+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一个交点是点D，连接BD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是抛物线对称轴上的一点，以M、B、D为顶点的三角形的面积是6，求点M的坐标；
（3）点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿D→B匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→A→D匀速运动，当点P到达点B时，P、Q同时停止运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以D、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？请直接写出所有符合条件的值．

Answer 1

（1）∵矩形ABCD，B（5，3），
∴A（5，0），C（0，3）．
∵点A（5，0），C（0，3）在抛物线y=

3

5

x²+bx+c上，
∴

3 5 ×25+5b+c=0 c=3

，解得：b=-

18

5

，c=3．
∴抛物线的解析式为：y=

3

5

x²-

18

5

x+3．

（2）如答图1所示，
∵y=

3

5

x²-

18

5

x+3=

3

5

（x-3）²-

12

5

，
∴抛物线的对称轴为直线x=3．
如答图1所示，设对称轴与BD交于点G，与x轴交于点H，则H（3，0）．

令y=0，即

3

5

x²-

18

5

x+3=0，解得x=1或x=5．
∴D（1，0），∴DH=2，AH=2，AD=4．
∵tan∠ADB=

AB

AD

=

3

4

，∴GH=DH•tan∠ADB=2×

3

4

=

3

2

，
∴G（3，

3

2

）．
∵S_△MBD=6，即S_△MDG+S_△MBG=6，
∴

1

2

MG•DH+

1

2

MG•AH=6，
即：

1

2

MG×2+

1

2

MG×2=6，
解得：MG=3．
∴点M的坐标为（3，

9

2

）或（3，-

3

2

）．

（3）在Rt△ABD中，AB=3，AD=4，则BD=5，∴sinB=

4

5

，cosB=

3

5

．
以D、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，则：
①若PD=PQ，如答图2所示：
此时有PD=PQ=BQ=t，过点Q作QE⊥BD于点E，
则BE=PE，BE=BQ•cosB=

3

5

t，QE=BQ•sinB=

4

5

t，
∴DE=t+

3

5

t=

8

5

t．
由勾股定理得：DQ²=DE²+QE²=AD²+AQ²，
即（

8

5

t）²+（

4

5

t）²=4²+（3-t）²，
整理得：11t²+6t-25=0，
解得：t=

25

11

或t=-5（舍去），
∴t=

25

11

；

②若PD=DQ，如答图3所示：
此时PD=t，DQ=AB+AD-t=7-t，
∴t=7-t，
∴t=

7

2

；
③若PQ=DQ，如答图4所示：
∵PD=t，∴BP=5-t；
∵DQ=7-t，∴PQ=7-t，AQ=4-（7-t）=t-3．
过点P作PF⊥AB于点F，则PF=PB•sinB=（5-t）×

4

5

=4-

4

5

t，BF=PB•cosB=（5-t）×

3

5

=3-

3

5

t．
∴AF=AB-BF=3-（3-

3

5

t）=

3

5

t．
过点P作PE⊥AD于点E，则PEAF为矩形，
∴PE=AF=

3

5

t，AE=PF=4-

4

5

t，∴EQ=AQ-AE=（t-3）-（4-

4

5

t）=

9

5

t-7．
在Rt△PQE中，由勾股定理得：EQ²+PE²=PQ²，
即：（

9

5

t-7）²+（

3

5

t）²=（7-t）²，
整理得：13t²-56t=0，
解得：t=0（舍去）或t=

56

13

．
∴t=

56

13

．
综上所述，当t=

25

11

，t=

7

2

或t=

56

13

时，以D、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形．