Question

如图，抛物线y=ax²+bx+3经过点A（1，0）和B（3，0），点C（m，

15

）在抛物线的对称轴上．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）求证：△ABC是等腰三角形．
（3）动点P在线段AC上，从点A出发以每钞1个单位的速度向C运动，同时动点Q在线段AB上，从B出发以每秒1个单位的速度向A运动．当Q到达点A时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，求当t为何值时，△APQ与△ABC相似．

Answer 1

（1）把A（1，0）和B（3，0）代入y=ax²+bx+3得：

a+b+3=0 9a+3b+3=0

，
解得：

a=1 b=-4

，
∴抛物线的函数解析式是y=x²-4x+3．

（2）抛物线的对称轴是x=2，
∵点C（m，

15

）在抛物线对称轴上，
∴m=2，
∴点C（2，

15

），
∴CA=

1+15

=4，CB=

1+15

=4，
∴CA=CB
∴△ABC是等腰三角形．

（3）∠A是公共角，
①当∠APQ=∠ACB时，△APQ∽△ACB，
∵AB=2，AC=4，AP=t，AQ=2-t，
∴

t

4

=

2-t

2

，
解得：t=

4

3

．
②当∠APQ=∠ABC时，△APQ∽△ABC，
∵AB=2，AC=4，AP=t，AQ=2-t，
∴

t

2

=

2-t

4

，
∴t=

2

3

，
∴当t=

4

3

或t=

2

3

时，△APQ与△ABC相似．