题目内容
【题目】我们定义：在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的3倍，那么这样的三角形我们称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为105°，40°，35°的三角形是“和谐三角形”
概念理解：如图1，∠MON=60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O，B重合）
（1）∠ABO的度数为______，△AOB______（填“是”或“不是”）“和谐三角形”；
（2）若∠ACB=80°，求证：△AOC是“和谐三角形”．
应用拓展：（3）如图2，点D在△ABC的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使∠EFC+∠BDC=180°，∠DEF=∠B．若△BCD是“和谐三角形”，求∠B的度数．
【答案】（1）30，是；（2）证明见解析；（3）∠B=36°或∠B=
【解析】
（1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO的度数，根据“和谐三角形”的概念判断；
（2）根据“和谐三角形”的概念证明即可；应用拓展：根据比较的性质得到∠EFC=∠ADC，根据平行线的性质得到∠DEF=∠ADE，推出DE∥BC，得到∠CDE=∠BCD，根据角平分线的定义得到∠ADE=∠CDE，求得∠B=∠BCD，根据“和谐三角形”的定义求解即可．
解：（1）∵AB⊥OM，
∴∠OAB=90°，
∴∠ABO=90°-∠MON=30°，
∵∠OAB=3∠ABO，
∴△AOB为“和谐三角形”，
故答案为：30；是；
（2）证明：∵∠MON=60°，∠ACB=80°，
∵∠ACB=∠OAC+∠MON，
∴∠OAC=80°-60°=20°，
∵∠AOB=60°=3×20°=3∠OAC，
∴△AOC是“和谐三角形”；
应用拓展：
∵∠EFC+∠BDC=180°，∠ADC+∠BDC=180°，
∴∠EFC=∠ADC，
∴AD∥EF，
∴∠DEF=∠ADE，
∵∠DEF=∠B，
∴∠B=∠ADE，
∴DE∥BC，
∴∠CDE=∠BCD，
∵AE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠B=∠BCD，
∵△BCD是“和谐三角形”，
∴∠BDC=3∠B，或∠B=3∠BDC，
∵∠BDC+∠BCD+∠B=180°，
∴∠B=36°或∠B=．
