Question

如图，已知AD是△ABC的角平分线（∠ACB＞∠B），EF⊥AD于P，交BC延长线于M，
（1）如果∠ACB=90°，求证：∠M=∠1；
（2）求证：∠M=

1

2

（∠ACB-∠B）．

Answer 1

（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠1=∠2，
∵EF⊥AD于P，
∴∠1+∠AEP=90°，∠APE=∠APF=90°，
∴∠AEP=∠AFP，
∵∠AFP=∠CFM，
∴∠CFM=∠AEP，
∵∠ACB=90°，
∴∠M+∠CFM=90°，
∴∠M+∠AEP=90°，
∴∠M=∠1；

（2）证明：∵EF⊥AD，AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，∠APE=∠APF=90°，
又∵∠AEF=180°-∠1-∠APE，∠AFE=180°-∠2-∠APF，
∴∠AEF=∠AFE，
∵∠CFM=∠AFE，
∴∠AEF=∠AFE=∠CFM，
∵∠AEF=∠B+∠M，∠MFC=∠ACB-∠M，
∴∠B+∠M=∠ACB-∠M，即∠M=

1

2

（∠ACB-∠B）．