题目内容

如图,在梯形ABCD中,ABCD,∠ABD=90°,AB=BD,在BC上截取BE,使BE=BA,过点B作BF⊥BC于B,交AD于点F.连接AE,交BD于点G,交BF于点H.
(1)已知AD=4
2
,CD=2,求sin∠BCD的值;
(2)求证:BH+CD=BC.
(1)在Rt△ABD中,∠ABD=90°,AB=BD,AD=4
2

则AB=BD=4,…(1分)
在Rt△CBD中,∠BDC=90°,CD=2,BD=4,
所以BC=
22+42
=2
5
,…(2分)
sin∠BCD=
BD
BC
=
4
2
5
=
2
5
5
.…(4分)
(2)证明:过点A作AB的垂线交BF的延长线于M.

∵∠DBA=90°,∴∠1+∠3=90°.
∵BF⊥CB于B,∴∠3+∠2=90°.
∴∠2=∠1.…(5分)
∵BA=BD,∠BAM=∠BDC=90°,
∴△BAM≌△BDC.
∴BM=BC,AM=CD.…(7分)
∵EB=AB,∴∠7=∠5.
BH=BG.…(8分)
∴∠4=∠1+∠5=∠2+∠7=∠6.
∵∠8=∠4,∠MAH=∠6,
∴∠8=∠MAH,∴AM=MH=CD.…(9分)
∴BC=BM=BH+HM=BH+CD.…(10分)
其他解法,参照给分.
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