Question

【题目】如图，△OAB中，OA=OB=10，∠AOB=70°，以点O为圆心，6为半径的优弧 分别交OA、OB于点M，N．
（1）点P在右半弧上（∠BOP是锐角），将OP绕点O逆时针旋转70°得OP′．求证：AP=BP′；
（2）点T在左半弧上，若AT与弧相切，求点T到OA的距离；
（3）设点Q在优弧 上，当△AOQ的面积最大时，直接写出∠BOQ的度数．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图1，∵∠AOP=∠AOB+∠BOP=80°+∠BOP，

∠BOP′=∠POP′+∠BOP=80°+∠BOP，

∴∠AOP=∠BOP′，

∵在△AOP和△BOP′中

，

∴△AOP≌△BOP′（SAS），

∴AP=BP′

（2）解：如图1，连接OT，过点T作TH⊥OA于点H，

∵AT是⊙O的切线，

∴∠ATO=90°，

∴AT= = =8，

∵ ×OA×TH= ×AT×OT，

即 ×10×TH= ×8×6，

解得：TH= ，即点T到OA的距离为

（3）解：如图2，当OQ⊥OA时，△AOQ的面积最大；

理由：∵OQ⊥OA，

∴QO是△AOQ中最长的高，则△AOQ的面积最大，

∴∠BOQ=∠AOQ+∠AOB=90°+70°=160°，

当Q点在优弧 右侧上，

∵OQ⊥OA，

∴QO是△AOQ中最长的高，则△AOQ的面积最大，

∴∠BOQ=∠AOQ﹣∠AOB=90°﹣70°=20°，

综上所述：当∠BOQ的度数为20°或160°时，△AOQ的面积最大

【解析】（1）首先根据已知得出∠AOP=∠BOP′，进而得出△AOP≌△BOP′，即可得出答案；（2）利用切线的性质得出∠ATO=90°，再利用勾股定理求出AT的长，进而得出TH的长即可得出答案；（3）当OQ⊥OA时，△AOQ面积最大，且左右两半弧上各存在一点分别求出即可．