题目内容
【题目】如图，△OAB中，OA=OB=10，∠AOB=70°，以点O为圆心，6为半径的优弧 
分别交OA、OB于点M，N． 
（1）点P在右半弧上（∠BOP是锐角），将OP绕点O逆时针旋转70°得OP′．求证：AP=BP′；
（2）点T在左半弧上，若AT与弧相切，求点T到OA的距离；
（3）设点Q在优弧 上，当△AOQ的面积最大时，直接写出∠BOQ的度数．
【答案】
（1）证明：如图1，∵∠AOP=∠AOB+∠BOP=80°+∠BOP，
∠BOP′=∠POP′+∠BOP=80°+∠BOP，
∴∠AOP=∠BOP′，
∵在△AOP和△BOP′中
，
∴△AOP≌△BOP′（SAS），
∴AP=BP′
（2）解：如图1，连接OT，过点T作TH⊥OA于点H，
∵AT是⊙O的切线，
∴∠ATO=90°，
∴AT= 
= 
=8，
∵ 
×OA×TH= ×AT×OT，
即 ×10×TH= ×8×6，
解得：TH= 
，即点T到OA的距离为
（3）解：如图2，当OQ⊥OA时，△AOQ的面积最大；
理由：∵OQ⊥OA，
∴QO是△AOQ中最长的高，则△AOQ的面积最大，
∴∠BOQ=∠AOQ+∠AOB=90°+70°=160°，
当Q点在优弧 
右侧上，
∵OQ⊥OA，
∴QO是△AOQ中最长的高，则△AOQ的面积最大，
∴∠BOQ=∠AOQ﹣∠AOB=90°﹣70°=20°，
综上所述：当∠BOQ的度数为20°或160°时，△AOQ的面积最大
【解析】（1）首先根据已知得出∠AOP=∠BOP′，进而得出△AOP≌△BOP′，即可得出答案；（2）利用切线的性质得出∠ATO=90°，再利用勾股定理求出AT的长，进而得出TH的长即可得出答案；（3）当OQ⊥OA时，△AOQ面积最大，且左右两半弧上各存在一点分别求出即可．
