Question

△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C=Rt∠，AC=BC=2，(1)要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法(如图1)，比较甲．乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积大？请说明理由。

(2)图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得正方形面积为；按照甲种剪法，在余下的△ADE和△BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为(如图2)，则；再在余下的四个三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形面积和为，继续操作下去……，则第10次剪取时，；
(3)求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和。

Answer 1

（1）甲种剪法所得的正方形面积更大，理由见解析(2)，(3)

（1）解法1：如图甲，由题意，得AE=DE=EC，即EC=1，S_{正方形CFDE}=1²=1
如图乙，设MN=x，则由题意，得AM=MQ=PN=NB=MN=x，
∴，
解得
∴
又∵
∴甲种剪法所得的正方形面积更大．
说明：图甲可另解为：由题意得点D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，S_{正方形OFDE}=1．
解法2：如图甲，由题意得AE=DE=EC，即EC=1，
如图乙，设MN=x，则由题意得AM=MQ=QP=PN=NB=MN=x，
则，
解得，
又∵，即EC＞MN．
∴甲种剪法所得的正方形面积更大．
（2），．
（3）解法1：探索规律可知：
剩余三角形面积和为2﹣（S₁+S₂+…+S₁₀）=2﹣（1++…+）=
解法2：由题意可知，
第一次剪取后剩余三角形面积和为2﹣S₁=1=S₁
第二次剪取后剩余三角形面积和为，
第三次剪取后剩余三角形面积和为，
…
第十次剪取后剩余三角形面积和为．
（1）分别求出甲、乙两种剪法所得的正方形面积，进行比较即可；
（2）按图1中甲种剪法，可知后一个三角形的面积是前一个三角形的面积的，依此可知结果；
（3）探索规律可知：，依此规律可得第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和．