Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．

（1）求证：△ADF∽△DEC；

（2）若AB＝4，AD＝3，AE＝3，求AF的长；

（3）若CD＝CE，则直线CD是以点E为圆心，AE长为半径的圆的切线．试证明之．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）2；（3）详见解析

【解析】

（1）△ADF和△DEC中，易知∠ADF=∠DEC（平行线的内错角），而∠AFD和∠C是等角的补角，由此可判定两个三角形相似；

（2）在Rt△ADE中，由勾股定理易求得DE的长，从而根据相似三角形的对应边成比例求出AF的长；

（3）过点E作EH⊥DC，交DC的延长线于点H，根据等边对等角可得∠CED＝∠CDE，利用等量代换可得∠ADE＝∠CDE，利用AAS证出△ADE≌△HDE，从而证出AE＝HE，最后根据切线的判定定理即可证出结论．

解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AD∥BC，

∴∠B+∠C＝180°，∠ADF＝∠DEC，

∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，

∴∠AFD＝∠C，

∴△ADF∽△DEC；

（2）∵AE⊥BC，AD＝3，AE＝3，

∴DE＝＝＝6，

由（1）知△ADF∽△DEC，

得，

∴AF＝＝＝2．

（3）过点E作EH⊥DC，交DC的延长线于点H．

∵CD＝CE，

∴∠CED＝∠CDE．

∵∠ADE＝∠CED，

∴∠ADE＝∠CDE．

又∵∠EAD＝∠EHD＝90°，

在△ADE和△HDE中，

∴△ADE≌△HDE，

∴AE＝HE，

∴直线CD是以点E为圆心，AE长为半径的圆的切线．