题目内容
【题目】在等腰三角形ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,已知a=3,b和c是关于x的方程x2+mx+2-m=0的两个实数根.
(1)求△ABC的周长.
(2)求△ABC的三边均为整数时的外接圆半径.
【答案】(1)△ABC的周长为7或7;(2)△ABC的三边均为整数时的外接圆半径为
.
【解析】
(1)此题分两种情况考虑:一是b和c中有一个和a相等,是3;二是b=c,即根据方程有两个相等的实数根,由△=0求解.最后注意看是否符合三角形的三边关系.
(2)根据(1)中求解的结果,只需求得2,3,3的三角形的外接圆的半径,根据等腰三角形的三线合一和勾股定理求解.
(1)若b、c中有一边等于3,
则方程可化为,
解得m=-;
原方程可化为x2-=0,
解得x1=3,x2=,
所以三角形的周长为3+3+=
;
若b=c,则△=m2-4()=0,
解得m=﹣4或2,
当m=﹣4时,方程为x2﹣4x+4=0,得x1=x2=2,
所以三角形的周长为2+2+3=7;
当m=2时,方程为x2+2x+1=0,得x1=x2=﹣1;(不合题意,舍去)
综上可知△ABC的周长为7或7.
(2)作△ABC的外接圆⊙O,连接AO并延长交⊙O于点D、交BC于E,连接BO,
则有AE⊥BC.
∵△ABC的三边均为整数,
∴AB=AC=2,BC=3,
BE=BC=
.AE=
=
,
设AO=R,在Rt△BOE中,R2=()2+(
﹣R)2,
∴R=,
∴△ABC的三边均为整数时的外接圆半径为.

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