题目内容

【题目】在等腰三角形ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,已知a=3,b和c是关于x的方程x2+mx+2-m=0的两个实数根.

(1)ABC的周长.

(2)ABC的三边均为整数时的外接圆半径.

【答案】(1)△ABC的周长为7或7;(2)△ABC的三边均为整数时的外接圆半径为

【解析】

(1)此题分两种情况考虑:一是bc中有一个和a相等,是3;二是b=c,即根据方程有两个相等的实数根,由=0求解.最后注意看是否符合三角形的三边关系.

(2)根据(1)中求解的结果,只需求得2,3,3的三角形的外接圆的半径,根据等腰三角形的三线合一和勾股定理求解.

(1)b、c中有一边等于3,

则方程可化为

解得m=-

原方程可化为x2-=0,

解得x1=3,x2=

所以三角形的周长为3+3+=

b=c,则=m2-4()=0,

解得m=﹣42,

m=﹣4时,方程为x2﹣4x+4=0,得x1=x2=2,

所以三角形的周长为2+2+3=7;

m=2时,方程为x2+2x+1=0,得x1=x2=﹣1;(不合题意,舍去)

综上可知ABC的周长为77.

(2)ABC的外接圆⊙O,连接AO并延长交⊙O于点D、交BCE,连接BO,

则有AEBC.

∵△ABC的三边均为整数,

AB=AC=2,BC=3,

BE=BC=.AE==

AO=R,在RtBOE中,R2=(2+(﹣R)2

R=

∴△ABC的三边均为整数时的外接圆半径为

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