Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．

（1）证明：AF平分∠BAC；
（2）证明：BF=FD；
（3）若EF=4，DE=3，求AD的长．

Answer 1

(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

试题分析：（1）连接OF，通过切线的性质证OF⊥FH，进而由FH∥BC，得OF⊥BC，即可由垂径定理得到F是弧BC的中点，根据圆周角定理可得∠BAF=∠CAF，由此得证；
（2）求BF=FD，可证两边的对角相等；易知∠DBF=∠DBC+∠FBC，∠BDF=∠BAD+∠ABD；观察上述两个式子，∠ABD、∠CBD是被角平分线平分∠ABC所得的两个等角，而∠CBF和∠DAB所对的是等弧，由此可证得∠DBF=∠BDF，即可得证；
（3）由EF、DE的长可得出DF的长，进而可由（2）的结论得到BF的长；然后证△FBE∽△FAB，根据相似三角形得到的成比例线段，可求出AF的长，即可由AD=AF-DF求出AD的长．
试题解析：（1）证明：连接OF

∵FH是⊙O的切线
∴OF⊥FH
∵FH∥BC，
∴OF垂直平分BC
∴，
∴∠1=∠2，
∴AF平分∠BAC
（2）证明：由（1）及题设条件可知
∠1=∠2，∠4=∠3，∠5=∠2
∴∠1+∠4=∠2+∠3
∴∠1+∠4=∠5+∠3
∵∠1+∠4=∠BDF，∠5+∠3=∠FBD，
∴∠BDF=∠FBD，
∴BF=FD（6分）
（3）解：在△BFE和△AFB中
∵∠5=∠2=∠1，∠AFB=∠AFB，
∴△BFE∽△AFB
∴ ，
∴BF²=FE•FA
∴，EF=4，BF=FD=EF+DE=4+3=7，
∴
∴AD=AF-DF=AF-（DE+EF）=.
考点: 1.切线的性质；2.角平分线的性质；3.垂径定理；4.相似三角形的判定与性质.