Question

【题目】如图，已知抛物线经过点、和，垂直于轴，交抛物线于点，垂直于轴，垂足为，直线是该抛物线的对称轴，点是抛物线的顶点．

(1)求出该二次函数的表达式及点的坐标；

(2)若沿轴向右平移，使其直角边与对称轴重合，再沿对称轴向上平移到点与点重合，得到，求此时与矩形重叠部分图形的面积；

(3)若沿轴向右平移个单位长度()得到，与重叠部分图形的面积记为，求与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)抛物线的解析式为，点的坐标为；(2) ； (3) .

【解析】

（1）将点A（-3，0）、B（9，0）和C（0，4）代入y=ax2+bx+c即可求出该二次函数表达式，因为CD垂直于y轴，所以令y=4，求出x的值，即可写出点D坐标；

（2）设A1F交CD于点G，O1F交CD于点H，求出顶点坐标，证△FGH∽△FA1O1，求出GH的长，因为Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形是梯形A1O1HG，所以S重叠部分=-S△FGH，即可求出结果；

（3）当0＜t≤3时，设O2C2交OD于点M，证△OO2M∽△OED，求出O2M=t，可直接求出S==OO2×O2M=t2；当3＜t≤6时，设A2C2交OD于点M，O2C2交OD于点N，分别求出直线OD与直线A2C2的解析式，再求出其交点M的坐标，证△DC2N∽△DCO，求出C2N=（6-t），由S=S四边形A2Q2NM=，可求出S与t的函数表达式．

(1)∵抛抛线经过点、和，

∴抛物线的解析式为，

∵点在抛物线上，

∴，

∴，

∴抛物线的解析式为：，

∵垂直于轴，，

令，

解得，或，

∴点的坐标为；

(2)如图1所示，设交于点，交于点，

∵点是抛物线的顶点，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

解得， ，

∵与矩形重叠部分的图形是梯形，

∴

；

(3)①当时，如图2所示，设交于点，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴；

②当时，如图3所示，设交于点，交于点，

将点代入，

得，，

∴，

将点，代入，

得，，

解得，，，

∴直线的解析式为：，

联立与，

得，，

解得，，

∴两直线交点坐标为，

故点到2的距离为，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴

；

∴与的函数关系式为：．