Question

【题目】已知：在等腰直角三角形ABC中，AB=BC，∠ABC=90°．D是平面上一点，连结BD．将线段BD绕点B逆时针旋转90°得到线段BE，连结AE，CD．

（1）在图1中补全图形，并证明：AE⊥CD．

（2）当点D在平面上运动时，请猜测线段AD，CE，AB，BD之间的数量关系．

（3）如图2，作点A关于直线BE的对称点F，连结AD，DF，BF．若AB=11，BD=7，AD=14，求线段DF的长度．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）DF=12

【解析】

（1）由旋转的性质得到∠DBE=90°，BD=BE，进而可得∠ABE=∠CBD，即可证明△ABE≌△CBD，由全等三角形对应角相等得到∠EAB=∠DCB．在△AMB和△CMN，根据对顶角相等和三角形内角和定理即可得到∠CNM=90°，即可得出结论；

（2）连接ED．在Rt△CNE、Rt△AND、Rt△ANC、Rt△DNE中，分别利用勾股定理即可得出结论．

（3）延长EB到G．由A和F关于直线BE对称，得到∠ABG=∠FBG，AB=BF，进而得到BC=BF．根据邓娇的余角相等得到∠CBE=∠FBD，即可证明△CBE≌△FBD，根据全等三角形对应边相等得到CE=FD．由（2）的结论可求出CE的长，等量代换即可得出结论．

（1）作图见图1．

∵将线段BD绕点B逆时针旋转90° 得到线段BE，

∴∠DBE=90°，BD=BE．

∵∠ABC=90°，

∴∠ABE=∠CBD．

在△ABE和△CBD中，∵AB=BC，∠ABE=∠CBD，BE=BD，

∴△ABE≌△CBD，

∴∠EAB=∠DCB．

∵∠AMB=∠CMN，

∴∠CNM=∠ABM=90°，

∴AE⊥CD；

（2）．理由如下：

连接ED，如图2．

∵AE⊥CD，

∴，，

∴．

∵，，

∴．

∵，，

∴．

（3）延长EB到G，如图3．

∵A和F关于直线BE对称，

∴∠ABG=∠FBG，AB=BF．

∵AB=BC，

∴BC=BF．

∵∠ABC=∠DBE=90°，

∴∠ABG+∠CBE=90°，∠FBG+∠FBD=90°，

∴∠CBE=∠FBD．

在△CBE和△FBD中，∵CB=FB，∠CBE=∠FBD，BE=BD，

∴△CBE≌△FBD，

∴CE=FD．

由（2）可知：，

∴，

∴CE=12，

∴DF=CE=12．