Question

【题目】已知二次函数y=x2–kx+k–1（k＞2）．

（1）求证：抛物线y=x2–kx+k-1（k＞2）与x轴必有两个交点；

（2）抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若ΔOAC的面积是，求抛物线的解析式．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）y=x2-4x+3

【解析】

（1）先计算判别式的值得到△=(k﹣2)2，利用k＞2，可判断△＞0，于是根据△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点即可得到结论；

（2）根据抛物线与x轴的交点问题，解方程x2﹣kx+k﹣1=0得x=k﹣1或x=1，利用k＞2，点A在点B的左侧得到A(1，0)，B(k﹣1，0)，再表示出C(0，k﹣1)，然后根据ΔOAC的面积是，解方程求出k即可得到抛物线的表达式．

（1）∵△=(﹣k)2﹣4×1×(k﹣1)=(k﹣2)2，

又∵k＞2，

∴(k﹣2)2＞0，即△＞0，

∴抛物线y=x2﹣kx+k﹣1与x轴必有两个交点；

（2）∵抛物线y=x2﹣kx+k﹣1与x轴交于A、B两点，

∴令y=0，有x2﹣kx+k﹣1=0，解得：x=k﹣1或x=1．

∵k＞2，点A在点B的左侧，

∴A(1，0)，B(k﹣1，0)．

∵抛物线与y轴交于点C，

∴C(0，k﹣1)．

∵，

∴k-1=3，解得：k=4，

∴抛物线的表达式为y=x2﹣4x+3．