题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与抛物线y＝ax2+bx交于点A（6，0）和点B（1，﹣5）．
（1）求这条抛物线的表达式和直线AB的表达式；
（2）如果点C在直线AB上，且∠BOC的正切值是
，求点C的坐标．
【答案】（1）y＝x2﹣6x，y＝x﹣6；（2）C（
，﹣
）．
【解析】
（1）利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式；
（2）先说明OA=OH=6，则∠OAH=45°，作辅助线，根据正切值证明∠BOC=∠OBE，作OB的垂直平分线交AB于C，交OB于F，解法一：先根据中点坐标公式可得F（
），易得直线OB的解析式为：y=﹣5x，根据两直线垂直的关系可得直线FC的解析式为：y
，列方程
x﹣6，解出可得C的坐标；
解法二：过C作CD⊥x轴于D，连接OC，设C（m，m﹣6），根据OC=BC，列方程可得结论．
（1）把点A（6，0）和点B（1，﹣5）代入抛物线y=ax2+bx得：
，解得：
，∴这条抛物线的表达式：y=x2﹣6x，设直线AB的解析式为：y=kx+b，把点A（6，0）和点B（1，﹣5）代入得：
，解得：
，则直线AB的解析式为：y=x﹣6；
（2）当x=0时，y=6，当y=0时，x=6，∴OA=OH=6．
∵∠AOH=90°，∴∠OAH=45°，过B作BG⊥x轴于G，则△ABG是等腰直角三角形，∴AB=5
，过O作OE⊥AB于E，S△AOH
AHOEOAOH，6OE=6×6，OE=3，∴BE=AB﹣AE=5
，Rt△BOE中，tan∠OBE
．
∵∠BOC的正切值是
，∴∠BOC=∠OBE，∴OC=CB．作OB的垂直平分线交AB于C，交OB于F，解法一：∵B（1，﹣5），∴F（），易得直线OB的解析式为：y=﹣5x，设直线FC的解析式为：y
x+b，把F（）代入得：
b，b
，∴直线FC的解析式为：y
x﹣6，x
，当x时，y
，∴C（
）；
解法二：过C作CD⊥x轴于D，连接OC，设C（m，m﹣6），则AC
（6﹣m）．
∵OC=BC，∴m2+（m﹣6）2=[5
（6﹣m）]，m，∴C（）．
