题目内容

【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D、F分别在AB、AC上,CF=CB,连接CD,将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE,连接EF.
(1)求证:△BCD≌△FCE;
(2)若EF∥CD,求∠BDC的度数.

【答案】
(1)证明:∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE,

∴CD=CE,∠DCE=90°,

∵∠ACB=90°,

∴∠BCD=90°﹣∠ACD=∠FCE,

在△BCD和△FCE中,

∴△BCD≌△FCE(SAS).


(2)解:由(1)可知△BCD≌△FCE,

∴∠BDC=∠E,∠BCD=∠FCE,

∴∠DCE=∠DCA+∠FCE=∠DCA+∠BCD=∠ACB=90°,

∵EF∥CD,

∴∠E=180°﹣∠DCE=90°,

∴∠BDC=90°.


【解析】(1)由旋转的性质可得:CD=CE,再根据同角的余角相等可证明∠BCD=∠FCE,再根据全等三角形的判定方法即可证明△BCD≌△FCE;(2)由(1)可知:△BCD≌△FCE,所以∠BDC=∠E,易求∠E=90°,进而可求出∠BDC的度数.

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