Question

【题目】如图，平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣ x+b（b为常数，b＞0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，半径为4的⊙O与x轴正半轴相交于点C，与y轴相交于点D、E，点D在点E上方．
（1）若直线AB与 有两个交点F、G． ①求∠CFE的度数；
②用含b的代数式表示FG2 ， 并直接写出b的取值范围；
（2）设b≥5，在线段AB上是否存在点P，使∠CPE=45°？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：①如图，

∵∠COE=90°

∴∠CFE= ∠COE=45°，（圆周角定理）

②方法一：

如图，作OM⊥AB点M，连接OF，

∵OM⊥AB，直线的函数式为：y=﹣ x+b，

∴OM所在的直线函数式为：y= x，

∴交点M（ b， b）

∴OM2=（ b）2+（ b）2，

∵OF=4，

∴FM2=OF2﹣OM2=42﹣（ b）2﹣（ b）2，

∵FM= FG，

∴FG2=4FM2=4×[42﹣（ b）2﹣（ b）2]=64﹣ b2=64×（1﹣ b2），

∵直线AB与 有两个交点F、G．

∴4≤b＜5，

∴FG2=64×（1﹣ b2） （4≤b＜5）

方法二：

① 如图，作OM⊥AB点M，连接OF，

∵直线的函数式为：y=﹣ x+b，

∴B的坐标为（0，b），A的坐标为（ b，0），

∴AB= = b，

∴sin∠BAO= = = ，

∴sin∠MAO= = = ，

∴OM= b，

∴在RT△OMF中，

FM= =

∵FG=2FM，

∴FG2=4FM2=4（42﹣ b2）=64﹣﹣ b2=64×（1﹣ b2），

∵直线AB与 有两个交点F、G．

∴4≤b＜5，

∴FG2=64×（1﹣ b2） （4≤b＜5）

（2）解：如图，

当b=5时，直线与圆相切，

∵在直角坐标系中，∠COE=90°，

∴∠CPE=∠ODC=45°，

∴存在点P，使∠CPE=45°，

连接OP，

∵P是切点，

∴OP⊥AB，

∴△APO∽△AOB，

∴ = ，

∵OP=r=4，OB=5，AO= ，

∴ = 即AP= ，

∵AB= = = ，

作PM⊥AO交AO于点M，设P的坐标为（x，y），

∵△AMP∽△AOB，

∴ =

∴ = ，

∴y= ，

∴x=OM= = =

∴点P的坐标为（ ， ）．

当b＞5时，直线与圆相离，不存在P

【解析】（1）连接CD，EA，利用同一条弦所对的圆周角相等求行∠CFE=45°，（2）作OM⊥AB点M，连接OF，利用两条直线垂直相交求出交点M的坐标，利用勾股定理求出FM2 ， 再求出FG2 ， 再根据式子写出b的范围，（3）当b=5时，直线与圆相切，存在点P，使∠CPE=45°，再利用△APO∽△AOB和△AMP∽△AOB相似得出点P的坐标，再求出OP所在的直线解析式．