题目内容
【题目】如图,二次函数y=a(x2﹣2mx﹣3m2)(其中a,m是常数,且a>0,m>0)的图象与x轴分别交于点A、B(点A位于点B的左侧),与y轴交于C(0,﹣3),点D在二次函数的图象上,CD∥AB,连接AD,过点A作射线AE交二次函数的图象于点E,AB平分∠DAE.
(1)用含m的代数式表示a;
(2)求证: 为定值;
(3)设该二次函数图象的顶点为F,探索:在x轴的负半轴上是否存在点G,连接GF,以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形?如果存在,只要找出一个满足要求的点G即可,并用含m的代数式表示该点的横坐标;如果不存在,请说明理由.
【答案】
(1)
解:将C(0,﹣3)代入二次函数y=a(x2﹣2mx﹣3m2),
则﹣3=a(0﹣0﹣3m2),
解得 a= .
(2)
方法一:
证明:如图1,过点D、E分别作x轴的垂线,垂足为M、N.
由a(x2﹣2mx﹣3m2)=0,
解得 x1=﹣m,x2=3m,
则 A(﹣m,0),B(3m,0).
∵CD∥AB,
∴D点的纵坐标为﹣3,
又∵D点在抛物线上,
∴将D点纵坐标代入抛物线方程得D点的坐标为(2m,﹣3).
∵AB平分∠DAE,
∴∠DAM=∠EAN,
∵∠DMA=∠ENA=90°,
∴△ADM∽△AEN.
∴ =
=
.
设E坐标为(x, ),
∴ =
,
∴x=4m,
∴E(4m,5),
∵AM=AO+OM=m+2m=3m,AN=AO+ON=m+4m=5m,
∴ =
=
,即为定值.
方法二:
过点D、E分别作x轴的垂线,垂足为M、N,
∵a(x2﹣2mx﹣3m2)=0,
∴x1=﹣m,x2=3m,
则A(﹣m,0),B(3m,0),
∵CD∥AB,∴D点的纵坐标为﹣3,∴D(2m,﹣3),
∵AB平分∠DAE,∴KAD+KAE=0,
∵A(﹣m,0),D(2m,﹣3),
∴KAD= =﹣
,∴KAE=
,
∴ x2﹣3mx﹣4m2=0,
∴x1=﹣m(舍),x2=4m,∴E(4m,5),
∵∠DAM=∠EAN=90°
∴△ADM∽△AEN,
∴ ,
∵DM=3,EN=5,
∴ .
(3)
解:如图2,记二次函数图象顶点为F,则F的坐标为(m,﹣4),过点F作FH⊥x轴于点H.
连接FC并延长,与x轴负半轴交于一点,此点即为所求的点G.
∵tan∠CGO= ,tan∠FGH=
,
∴ =
,
∴ ,
∵OC=3,HF=4,OH=m,
∴OG=3m.
∵GF= =
=4
,
AD= =
=3
,
∴ =
.
∵ =
,
∴AD:GF:AE=3:4:5,
∴以线段GF,AD,AE的长度为三边长的三角形是直角三角形,此时G点的横坐标为﹣3m
【解析】(1)由C在二次函数y=a(x2﹣2mx﹣3m2)上,则其横纵坐标必满足方程,代入即可得到a与c的关系式.(2)求证 为定值,一般就是计算出AD、AE的值,然后相比.而求其长,过E、D作x轴的垂线段,进而通过设边长,利用直角三角形性质得方程求解,是求解此类问题的常规思路,如此易得定值.(3)要使线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形,且(2)中
=
,则可考虑若GF使得AD:GF:AE=3:4:5即可.由AD、AE、F点都易固定,且G在x轴的负半轴上,则易得G点大致位置,可连接CF并延长,证明上述比例AD:GF:AE=3:4:5即可.
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的图象的相关知识,掌握二次函数图像关键点:1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点,以及对二次函数的性质的理解,了解增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小.
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【题目】某校为了解2013年八年级学生课外书籍借阅情况,从中随机抽取了40名学生课外书籍借阅情况,将统计结果列出如下的表格,并绘制成如图所示的扇形统计图,其中科普类册数占这40名学生借阅总册数的40%.
类别 | 科普类 | 教辅类 | 文艺类 | 其他 |
册数(本) | 128 | 80 | m | 48 |
(1)求表格中字母m的值及扇形统计图中“教辅类”所对应的圆心角α的度数;
(2)该校2013年八年级有500名学生,请你估计该年级学生共借阅教辅类书籍约多少本?
【题目】为了解某校“振兴阅读工程”的开展情况,教育部门对该校初中生的阅读情况进行了随机问卷调查,绘制了如下图表: 初中生喜爱的文学作品种类调查统计表
种类 | 小说 | 散文 | 传记 | 科普 | 军事 | 诗歌 | 其他 |
人数 | 72 | 8 | 21 | 19 | 15 | 2 | 13 |
根据上述图表提供的信息,解答下列问题:
(1)喜爱小说的人数占被调查人数的百分比是多少?初中生每天阅读时间的中位数在哪个时间段内?
(2)将写读后感、笔记积累、画圈点读等三种方式称为有记忆阅读.请估计该校现有的2000名初中生中,能进行有记忆阅读的人数约是多少?