题目内容
【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0)、B(3,0).
(1)求b、c的值;
(2)如图1直线y=kx+1(k>0)与抛物线第一象限的部分交于D点,交y轴于F点,交线段BC于E点.求的最大值;
(3)如图2,抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M,连接PB.问在直线BC下方的抛物线上是否存在点Q,使得△QMB与△PMB的面积相等?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)b=2,c=3(2)(3)(
,
)或(
,
)
【解析】
试题(1)将点A、B的坐标带入到抛物线解析式中,得出关于b、c的二元一次方程组,解方程组即可得出结论;
(2)作DN∥CF交CB于N,由DN∥CF可得出△DEN∽△FEC,根据相似三角形的性质得出,由(1)可得出抛物线的解析式,令抛物线解析式中x=0则可得出点C的坐标,由点B、C的坐标可得出直线BC的解析式,设出点D的坐标,则可得出点N的坐标,由直线DF的解析式可得出点F的坐标,从而得出DN、CF的长度,由DN的长度结合二次函数的性质即可得出结论;
(3)假设存在符合题意的点Q.设PM与x轴交于点G,过点G作作直线BC的平行线.由抛物线的解析式可得出顶点P的坐标,由此得出对称轴的解析式,结合直线BC的解析式可得出点M的坐标,结合点G的坐标可知PM=GM,由此得出满足题意的点Q为“过点G与直线BC平行的直线和抛物线的交点”,由G点的坐标结合直线BC的解析式即可得出过点G与BC平行的直线的解析式,联立直线与抛物线解析式得出关于x、y的二元二次方程组,解方程即可得出结论.
试题解析:(1)将点A(﹣1,0)、B(3,0)带入到抛物线解析式中得:
,
解得:.
(2)作DN∥CF交CB于N,如图1所示.
∵DN∥CF,
∴△DEN∽△FEC,
∴.
∵抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3,
∴点C的坐标为(0,3).
∴直线BC的解析式为y=﹣x+3.
令直线y=kx+1中x=0,则y=1,
即点F的坐标为(0,1).
设点D的坐标为(m,﹣m2+2m+3),则点N的坐标为(m,﹣m+3),
∴DN=﹣m2+3m,CF=3﹣1=2,
∴=
,
∵DN=﹣m2+3m=的最大值为
,
∴的最大值为
.
(3)假设存在符合题意的点Q.
设PM与x轴交于点G,过点G作作直线BC的平行线,如图2所示.
∵抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴P点的坐标为(1,4),PM的解析式为x=1,
∵直线BC的解析式为y=﹣x+3,
∴M的坐标为(1,2),
∵点G的坐标为(1,0),
∴PM=GM=2,
∴过点G与BC平行的直线为y=﹣x+1.
联立直线与抛物线解析式得:,
解得:或
.
∴点Q的坐标为(,
)或(
,
).
故在直线BC下方的抛物线上存在点Q,使得△QMB与△PMB的面积相等,点Q的坐标为(,
)或(
,
).
