题目内容

【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0)、B(3,0).

(1)求b、c的值;

(2)如图1直线y=kx+1(k>0)与抛物线第一象限的部分交于D点,交y轴于F点,交线段BC于E点.求的最大值;

(3)如图2,抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M,连接PB.问在直线BC下方的抛物线上是否存在点Q,使得△QMB与△PMB的面积相等?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】1b=2c=323)()或(

【解析】

试题(1)将点AB的坐标带入到抛物线解析式中,得出关于bc的二元一次方程组,解方程组即可得出结论;

2)作DN∥CFCBN,由DN∥CF可得出△DEN∽△FEC,根据相似三角形的性质得出,由(1)可得出抛物线的解析式,令抛物线解析式中x=0则可得出点C的坐标,由点BC的坐标可得出直线BC的解析式,设出点D的坐标,则可得出点N的坐标,由直线DF的解析式可得出点F的坐标,从而得出DNCF的长度,由DN的长度结合二次函数的性质即可得出结论;

3)假设存在符合题意的点Q.设PMx轴交于点G,过点G作作直线BC的平行线.由抛物线的解析式可得出顶点P的坐标,由此得出对称轴的解析式,结合直线BC的解析式可得出点M的坐标,结合点G的坐标可知PM=GM,由此得出满足题意的点Q过点G与直线BC平行的直线和抛物线的交点,由G点的坐标结合直线BC的解析式即可得出过点GBC平行的直线的解析式,联立直线与抛物线解析式得出关于xy的二元二次方程组,解方程即可得出结论.

试题解析:(1)将点A﹣10)、B30)带入到抛物线解析式中得:

解得:

2)作DN∥CFCBN,如图1所示.

∵DN∥CF

∴△DEN∽△FEC

抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3

C的坐标为(03).

直线BC的解析式为y=﹣x+3

令直线y=kx+1x=0,则y=1

即点F的坐标为(01).

设点D的坐标为(m﹣m2+2m+3),则点N的坐标为(m﹣m+3),

∴DN=﹣m2+3mCF=3﹣1=2

=

∵DN=﹣m2+3m=的最大值为

的最大值为

3)假设存在符合题意的点Q

PMx轴交于点G,过点G作作直线BC的平行线,如图2所示.

抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣x﹣12+4

∴P点的坐标为(14),PM的解析式为x=1

直线BC的解析式为y=﹣x+3

∴M的坐标为(12),

G的坐标为(10),

∴PM=GM=2

过点GBC平行的直线为y=﹣x+1

联立直线与抛物线解析式得:

解得:

Q的坐标为()或().

故在直线BC下方的抛物线上存在点Q,使得△QMB△PMB的面积相等,点Q的坐标为()或().

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网