Question

10、如图，⊙O₁与⊙O₂内切于点P，又⊙O₁切⊙O₂的直径BE于点C，连接PC并延长交⊙O₂于点A，设⊙O₁，⊙O₂的半径分别为r、R，且R≥2r．求证：PC•AC是定值．

Answer 1

分析：要证PC•AC是定值，如图示连接CQ、AO₂，若△PQC与△ACO₂相似，则可得PC•AC=AO₂•PQ=2Rr为定值，要证△PQC与△ACO₂相似，由AO₂=PO₂得∠A=∠P，再由∠PQC=∠ACO₂=∠PCE可得．所以可得结论．

解答：证明：如图连接CQ，AO₂，
∵∠PCE与∠ACO₂是对顶角，
∴∠PCE=∠ACO_2，
∵⊙O₁切⊙O₂的直径BE于点C，
∴在⊙O₁中∠PCE=∠PQC，
∴∠PQC=∠ACO₂．
又∵AO₂=PO₂，
∴∠A=∠P，
∴△PQC∽△ACO₂，
∴PC：AO₂=PQ：AC，
∴PC•AC=AO₂•PQ=2Rr，
为定值．

点评：本题考查了相切圆的性质，相交弦定理，同学们应熟练掌握．