Question

【题目】如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．
（Ⅰ）求r的取值范围；
（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）将抛物线E：y2=x代入圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）的方程， 消去y2 ， 整理得x2﹣7x+16﹣r2=0（1）
抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：
方程（1）有两个不相等的正根
∴
即 ．
解这个方程组得 ， ．
（II）设四个交点的坐标分别为
、 、 、 ．
则直线AC、BD的方程分别为y﹣ = （x﹣x1），y+ = （x﹣x1），
解得点P的坐标为（ ，0），
则由（I）根据韦达定理有x1+x2=7，x1x2=16﹣r2 ，
则
∴
令 ，
则S2=（7+2t）2（7﹣2t）下面求S2的最大值．
由三次均值有： 当且仅当7+2t=14﹣4t，即 时取最大值．
经检验此时 满足题意．
故所求的点P的坐标为 ．
【解析】（1）先联立抛物线与圆的方程消去y，得到x的二次方程，根据抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是此方程有两个不相等的正根，可求出r的范围．（2）先设出四点A，B，C，D的坐标再由（1）中的x二次方程得到两根之和、两根之积，表示出面积并求出其的平方值，最后根据三次均值不等式确定得到最大值时的点P的坐标．