题目内容
【题目】如图，矩形
中，
，
，
是边
上一点，将
沿直线
对折，得到
．
（1）当
平分
时，求
的长；
（2）连接
，当
，求
的面积；
（3）当射线交于点
时，求
的最大值．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】
（1）由折叠性质得∠MAN=∠DAM，证出∠DAM=∠MAN=∠NAB，由三角函数得出DM=ADtan∠DAM=
即可；
（2）延长MN交AB延长线于点Q，由矩形的性质得出∠DMA=∠MAQ，由折叠性质得出∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，得出∠MAQ=∠AMQ，证出MQ=AQ，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，证出∠ANQ=90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得出方程，解方程求出NQ=4，AQ=5，即可求出△ABN的面积；
（3）过点A作AH⊥BF于点H，证明△ABH∽△BFC，得出对应边成比例
，得出当点N、H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M三点共线，由折叠性质得：AD=AH，由AAS证明△ABH≌△BFC，得出CF=BH，由勾股定理求出BH，得出CF，即可得出结果．
解：（1）由折叠性质得：
，
，
平分
，
，
，
四边形
是矩形，
，
，
；
（2）延长
交
延长线于点
，如图1所示：
四边形是矩形
，
，
由折叠性质得：，
，
，
，
，
，
设
，则
，
，
，
在
中，由勾股定理得：
，
，
解得：
，
，
，
，
；
（3）过点
作
于点
，如图2所示：
四边形是矩形
，
，
，
，
，
，
，
可以看到点
是在以为圆心3为半径的圆上运动，所以当射线
与圆相切时，
最大，此时
、、
三点共线，如图3所示
由折叠性质得：
，
，
，
在
和
中，
，
，
，
由勾股定理得：
，
，
的最大值
．
【题目】某科研小组计划对某一品种的西瓜用两种种植技术种植．在选择种植技术时，该科研小组主要关心的问题是：西瓜的产量和产量的稳定性，以及西瓜的优等品率．为了解这两种种植技术种出的西瓜的质量情况，科研小组各对两块自然条件相同的试验田进行对比试验，并从这两块实验田中随机抽取20个西瓜，分别称重后，将称重的结果记录如下：
回答下列问题：
（1）若将质量为4．5～5．5（单位：kg）的西瓜记为优等品，完成下表：
优等品西瓜个数 | 平均数 | 方差 | |
甲种种植技术种出的西瓜质量 | 4．98 | 0．27 | |
乙种种植技术种出的西瓜质量 | 15 | 4．97 | 0．21 |
（2）根据以上数据，你认为该科研小组应选择哪种种植技术?并说明理由．
