题目内容
【题目】已知抛物线的顶点为
，且过点
.直线
与
轴相交于点
.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）以线段
为直径的圆与射线
相交于点
，求点的坐标.
【答案】（1）
；（2）
或
【解析】
（1）先设出抛物线的顶点式，再将点A的坐标代入可得出结果；
（2）先求出射线
的解析式为
，可设点P的坐标为(x,x)．圆与射线OA相交于两点，分两种情况：①如图1当
时，构造
和
，再在直角三角形中利用勾股定理，列方程求解；②如图2，当
时，构造和，再在直角三角形中利用勾股定理，列方程求解．
解：（1）根据顶点设抛物线的解析式为：
，
代入点
，得：
，
抛物线的解析式为：．
设直线
的解析式为：
，
分别代入
和，
得：
，
直线的解析式为：
；
（2）由（1）得：直线的解析式为，
令
，得
，
由题意可得射线的解析式为，
点
在射线上，则可设点
，
由图可知满足条件的点有两个：
①当时，构造和，
可得：如图1：
由图可得，
，
，
．
在Rt△PMD中，
,
在Rt△PBG中，
,
在Rt△BMH中，
,
点在以线段
为直径的圆上,
，
可得：
,
即：
．
整理，得：
，解得：
；
,
．
;
②当
时，如图2，构造和，可得：
同理，根据BM2=BP2+PM2，可得方程：
42+42=(6-x)2+x2+(x-2)2+(x-4)2,化简得，
，解得：，
∵
．
．
综上所述，符合题目条件的点有两个，其坐标分别为：或．
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