Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣与y轴交于点C，与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）．

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）将△AOC以每秒一个单位的速度沿x轴向右平移，平移时间为t秒，平移后的△A′O′C′与△BOC重叠部分的面积为S，A与B重合时停止平移，求S与t的函数关系式；

（3）点P在x轴上，连接CP，点B关于直线CP的对称点为B′，若点B′落在这个抛物线的对称轴上，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣；（2）S＝；（3）点P的坐标为（，0）

【解析】

（1）将点A，B的坐标代入解析式即可求得；
（2）分三种情况讨论，设在运动过程中A'C'交OC于点H，交BC于点N，O'C'交BC于点M，分别用含t的代数式表示出相关线段的长度，如图1-1，当0＜t≤1时，利用算式S=S梯形O'MCO﹣S△HNC；如图1-2，当1＜t≤3时，利用算式S=S△A'BN﹣S△BO'M；如图1-3，当3＜t≤4时，利用算式S=S△A'BN，即可以写出结果；
（3）求出抛物线的对称轴，如图2，过C作CG⊥对称轴于点G，利用轴对称的性质及勾股定理求出点B'的坐标，进一步可求出点P的坐标．

(1)将点A(﹣1，0)，B(3，0)代入解析式，

得，，

解得，，-，

∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣，

(2)在y=x2﹣x﹣中，当x=0时，y=-，

∴C(0，﹣)，

∴在中，，

∴∠OAC=60°，

在中，，

∴∠OBC=30°，

设在运动过程中A'C'交OC于点H，交BC于点N，O'C'交BC于点M，

如图1﹣1，当0＜t≤1时，

A'O=1﹣t，OH=(1﹣t)，HC=OC﹣OH=t，CN=CH=t，HN=CN=t，

BO'=3﹣t，O'M=BO'= (3﹣t)=﹣t，

∴S=S梯形O'MCO﹣S△HNC

=(+﹣t)t﹣×t×t

=t2+t；

如图1﹣2，当1＜t≤3时，

A'B=4﹣t，A'N=A'B=2﹣t，BN=A'N=2﹣t，BO'=3﹣t，MO'=BO'=﹣t，

∴S=S△A'BN﹣S△BO'M

=(2﹣t)(2﹣t)﹣(3﹣t)(﹣t)

=﹣t2+；

如图1﹣3，当3＜t≤4时，

S=S△A'BN

=(2﹣t)(2﹣t)

=t2﹣t+2，

综上所述，S=；

(3)在抛物线y=x2﹣x﹣中，

对称轴为x=﹣=1，

如图2，过C作CG⊥对称轴于点G，

则CG=1，

由轴对称的性质知，CB'=CB==2，

∴G==，

∴B'(1，﹣)，

设点P的坐标为(a，0)，

由轴对称的性质知，PB=PB'，

∴(3﹣a)2=(﹣)2+(a﹣1)2，

解得，a=，

∴点P的坐标为(，0)．