题目内容
【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的中线,过点D作DE⊥BC于E,过点C作AB的平行线与DE的延长线交于点F,连接BF,AF.
(1)求证:四边形BDCF为菱形:
(2)若四边形BDCF的面积为24,CE:AC=2:3,求AF的长.
【答案】(1) 见解析;(2)
【解析】(1)求出四边形ADFC是平行四边形,推出CF=AD=BD,根据平行四边形的判定得出四边形BDCF是平行四边形,再证CD=BD即可;
(2)设CE=2x,AC=3x,求出BC=4x,DF=AC=3x,根据菱形的面积公式求出x,再根据勾股定理求出AF即可.
解:(1)证明:DE⊥BC,∠ACB=90°,
∴∠BED=∠ACB,
∴DF∥AC,
∵CF∥AB,
∴四边形ADFC是平行四边形,
∴AD=CF,
∵D为AB的中点,
∴AD=BD,
∴BD=CF,
∵BD∥CF,
∴四边形BDCF是平行四边形,
∵∠ACB=90°,D为AB的中点,
∴DC=BD,
∴四边形BDCF是菱形;
(2)∵CE:AC=2:3,
∴设CE=2x,AC=3x,
∵四边形BDCF是菱形,
∴BE=CE=2x,
∴BC=4x,
∵四边形ADFC是平行四边形,
∴DF=AC=3x,
∵四边形BDCF的面积为24,
∴×BC×DF=24,
∴4x3x=24,
解得:x=2(负数舍去),
∴CE=4,DF=6,
∴AC=6,EF=DF=3
作FG⊥AC交AC的延长线于点G,可得矩形ECGF,
∴FG=CE=4,AG=AC+CG=6+3=9,
在Rt△AFG中,
由勾股定理得,AF=.
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