题目内容
【题目】对任意一个四位正整数数m，若其千位与百位上的数字之和为9，十位与个位上的数字之和也为9，那么称m为“重九数”，如：1827、3663．将“重九数”m的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调，得到一个新的四位正整数数n，如：m＝2718，则n＝1827，记D（m，n）＝m+n．
（1）请写出两个四位“重九数”： ， ．
（2）求证：对于任意一个四位“重九数”m，其D（m，n）可被101整除．
（3）对于任意一个四位“重九数”m，记f（m，n）＝
，当f（m，n）是一个完全平方数时，且满足m＞n，求满足条件的m的值．
【答案】（1）3645，7263；（2）见解析；（3）9054、8163、6318、5427、4536
【解析】
（1）根据“重九数“定义写出两个符合要求的数即可；
（2）将m的各个数位上的数字用字母表示，得出D（m，n）的表达式，一定有因数101；
（3）先得出f（m，n）的表达式，再根据完全平方数的特征得出不定方程，解不定方程即可求出m的值．
解：（1）根据“重九数“定义写出两个符合要求的数即可，3645，7263，（答案不唯一，符合题意即可），
故答案为：3645，7263；
（2）证明：设任意一个“重九数“m为
，（a，b，c，d均为1～9的自然数），则n为
，
∴D（m，n）＝m+n＝1000a+100b+10c+d+1000c+100d+10a+b＝101（10a+10c+b+d），
∴D（m，n）可被101整除；
（3）由（2）可知，对于任意的“重九数“m＝，有D（m，n）＝101（10a+10c+b+d），
∴f（m，n）＝10a+10c+b+d，
∵a+b＝9，c+d＝9，
∴b＝9﹣a，d＝9﹣c，
∴f（m，n）＝10a+10c+b+d＝10a+10c+9﹣a+9﹣c＝9a+9c+18＝9（a+c+2），
∵f（m，n）是完全平方数，9是完全平方数，
∴a+c+2是完全平方数，
∵1≤a≤9，1≤c≤9，且m＞n，
∴a＞c，5≤a+c+2≤19，
∴a+c+2＝9或16，
当a+c+2＝9时，解得
或
或
．
当a+c+2＝16时，解得
或
．
综上所述，满足要求的m的值有：9054、8163、6318、5427、4536．
【题目】为了让学生掌握知识更加牢固，某校九年级物理组老师们将物理实验的教学方式由之前的理论教学改进为理论+实践，一段时间后，从九年级随机抽取15名学生，对他们在教学方式改进前后的物理实验成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩用
表示，共分成4组：A．
，B．
，C．
，D．
），下面给出部分信息：
教学方式改进前抽取的学生的成绩在
组中的数据为：80，83，85，87，89．
教学方式改进后抽取的学生成绩为：72，70，76，100，98，100，82，86，95，90，100，86，84，93，88．
教学方式改进前抽取的学生成绩频数分布直方图
教学方式改进前后抽取的学生成绩对比统计表
统计量 | 改进前 | 改进后 |
平均数 | 88 | 88 |
中位数 |
|
|
众数 | 98 |
|
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述图表中
的值；
（2）根据以上数据，你认为该校九年级学生的物理实验成绩在教学方式改进前好，还是改进后好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）若该校九年级有300名学生，规定物理实验成绩在90分及以上为优秀，估计教学方式改进后成绩为优秀的学生人数是多少？
