题目内容
【题目】如图,已知,,,斜边,将绕点顺时针旋转,得到,连接.点从点出发,沿方向匀速行动,速度为;同时,点从点出发,沿方向匀速运动,速度为;当一个点停止运动,另一个点也停让运动.连接,,交于点.设运动时间为,解答下列问题:
(1)当为何值时,平分?
(2)设四边形的面积为,求与的函教关系式;
(3)在运动过程中,当时,求四边形的面积;
(4)在运动过程中,是否存在某一时刻,使点为线段的中点?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2);(3);(4)存在,,理由见解析
【解析】
(1)当平分时,≌,得到AO=NO,继而问题得解;
(2)由,进而求解;
(3)关键当时,得到,建立方程解得t的值继而求解;
(4)关键是过点C作CG//OB,得到∽,有,建立关于t的方程求解即可.
解:(1)当平分时,
∵∠AMO=∠NMO,MO=MO,∠AOB=∠COD,
∴≌(ASA),
∴AO=NO,
∵,,,,
∴NO=AO=,
∴2t=4
∴
(2)如图,分别为的边OM,ON上的高
∵∠AOM=∠NOM=60°
∴,,
OM=4+t,ON=2t,
∴
(3)由知,
,MA=OM-DA,而OA=cos60°×AO=2
∴
∴
∴
∴
(4)存在,理由如下
如图过点C作CG//OB,交MN的延长线于点G ,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,PD=PC
≌
∴MD=CG=t,
由CG//OB,易知∽
又∵,
而ON=2t,CN=8-2t,OM=OD+DM=4+t,
∴
解得:,
经检验,是原方程的解,
故存在某一时刻,使点为线段的中点.