题目内容
【题目】如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）连接BC，若cos∠CAD＝
，⊙O的半径为5，求CD、AE的值．
【答案】（1）见解析；（2）CD＝
，AE＝
．
【解析】
（1）连接OC，如图，利用切线的性质得OC⊥CD，则OC∥AD，根据平行线的性质得到∠2＝∠3，加上∠1＝∠3，所以∠1＝∠2；
（2）连接BC、BE，BE交OC于F，如图，利用圆周角定理得到∠AEB＝∠ACB＝90°，在Rt△ACB中利用余弦定义可计算出AC＝8，则在Rt△ACD中可计算出AD＝
，从而利用勾股定理计算出CD＝ ，利用四边形DEFC为矩形得到EF＝CD＝，OF⊥BE，然后根据勾股定理可计算出AE．
（1）证明：连接OC，如图，
∵CD为切线，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠2＝∠3，
∵OC＝OA，
∴∠1＝∠3，
∴∠1＝∠2，
∴AC平分∠DAB；
（2）解：连接BC、BE，BE交OC于F，如图，
∵AB为直径，
∴∠AEB＝∠ACB＝90°，
在Rt△ACB中，∵cos∠1＝cos∠2＝
，
∴AC＝
×10＝8，
在Rt△ACD中，cos∠2＝＝
，
∴AD＝×8＝，
∴CD＝
，
易得四边形DEFC为矩形，
∴EF＝CD＝，OF⊥BE，
∴BE＝2EF＝
，
在Rt△ABE中，AE＝
，
∴CD＝，AE＝ ．
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