题目内容
【题目】如图，已知直线l//AB，l与AB之间的距离为2．C、D是直线l上两个动点（点C在D点的左侧），且AB=CD=5．连接AC、BC、BD，将△ABC沿BC折叠得到△A′BC．下列说法：①四边形ABDC的面积始终为10；②当A′与D重合时，四边形ABDC是菱形；③当A′与D不重合时，连接A′、D，则∠CA′D+∠BC A′=180°；④若以A′、C、B、D为顶点的四边形为矩形，则此矩形相邻两边之和为3
或7．其中正确的是( )
A. ①②③④B. ①③④C. ①②④D. ①②③
【答案】A
【解析】
①根据平行四边形的判定方法可得到四边形ABCD为平行四边形，然后根据平行四边形的面积公式计算；
②根据折叠的性质得到AC=CD，然后根据菱形的判定方法可判断四边形ABDC是菱形；
③连结A′D，根据折叠性质和平行四边形的性质得到CA′=CA=BD，AB=CD=A′B，∠1=∠CBA=∠2，可证明△A′CD≌△A′BD，则∠3=∠4，然后利用三角形内角和定理得到得到∠1=∠4，则根据平行线的判定得到A′D∥BC；
④讨论：当∠CBD=90°，则∠BCA=90°，由于S△A1CB=S△ABC=5，则S矩形A′CBD=10，根据勾股定理和完全平方公式进行计算；当∠BCD=90°，则∠CBA=90°，易得BC=2，而CD=5，于是得到结论．
①∵AB=CD=5，AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABDC的面积=2×5=10；故①正确；
②∵四边形ABDC是平行四边形，
∵A′与D重合时，
∴AC=CD，
∵四边形ABDC是平行四边形，
∴四边形ABDC是菱形；故②正确；
③连结A′D，如图，
∵△ABC沿BC折叠得到△A′BC，
∴CA′=CA=BD，AB=CD=A′B，
在△A′CD和△A′BD中
，
∴△A′CD≌△A′BD（SSS），
∴∠3=∠4，
又∵∠1=∠CBA=∠2，
∴∠1+∠2=∠3+∠4，
∴∠1=∠4，
∴A′D∥BC，
∴∠CA′D+∠BCA′=180°；故③正确；
④设矩形的边长分别为a，b，
当∠CBD=90°，
∵四边形ABDC是平行四边形，
∴∠BCA=90°，
∴S△A′CB=S△ABC=
×2×5=5，
∴S矩形A′CBD=10，即ab=10，
而BA′=BA=5，
∴a2+b2=25，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=45，
∴a+b=3
，
当∠BCD=90°时，
∵四边形ABDC是平行四边形，
∴∠CBA=90°，
∴BC=3，
而CD=5，
∴（a+b）2=（2+5）2=49，
∴a+b=7，
∴此矩形相邻两边之和为
或7．故④正确．
故选A．
