Question

如图，已知AB=3，BC=7，CD=.且AB⊥BC，∠BCD=135°。点M是线段BC上的一个动点，连接AM、DM。
①点M在运动过程中，当AM+DM的值最小时，BM=        ；
②当 AM²+DM²的值最小时，BM=        。

Answer 1

、6

试题分析：（1）延长AB到E，使BE=AB，连接ED交BC于M，连接AM，则此时AM+DM的值最小，过D作DF⊥BC交BC延长线于F，求出DF，根据相似求出BM即可；
（2）根据勾股定理得出AM²=AB²+BM²=3²+x²，DM²=DF²+FM²=5²+（5+7-x）²，相加即可求出答案．
（1）延长AB到E，使BE=AB，连接ED交BC于M，连接AM，则此时AM+DM的值最小，过D作DF⊥BC交BC延长线于F，

∵∠BCD=135°，
∴∠DCF=45°，
∵CD=，
则CF=CD×cos45°=5，
DF=CF=5，
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
∴△BEM∽△FDM，
∴
∴，解得，
（2）设BM=x，
在Rt△ABM中，AM²=AB²+BM²=3²+x²，
∵在Rt△DFM中，DM²=DF²+FM²=5²+（5+7-x）²，
∴AM²+DM²=9+x²+25+（12-x）²=2x²-24x+178=2（x-6）²+106，
∵2＞0，
∴AM²+DM²有最小值，当x=6时，最小值是106，
点评：相似三角形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.