Question

如图，矩形ABCD中， AB=4，BC=2，点P是射线DA上的一动点，DE⊥CP，垂足为E，EF⊥BE与射线DC交于点F．

（1）若点P在边DA上（与点D、点A不重合）．
①求证：△DEF∽△CEB；
②设AP=x，DF=y，求与的函数关系式，并写出的取值范围；
（2）当△EFC与△BEC面积之比为3︰16时，线段AP的长为多少?（直接写出答案，不必说明理由）．

Answer 1

（1）①通过证明∠DPE=∠CDE，∠DEF=∠CEB得△DEF∽△CEB．②的取值范围为0＜＜2 （2）或或

试题分析：（1）①证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∠ADC=90°，
∴∠ECB=∠DPE，∠PDE+∠CDE=90°． 
∵DE⊥CP，∴∠DEP=∠DEC =90°，∴∠PDE+∠DPE=90°，
∴∠DPE=∠CDE． 
∵∠ECB=∠DPE，∴∠ECB=∠EDF   
∵∠DEC =90°，∴∠DEF+∠FEC=90°．
∵EF⊥BE，∴∠CEB+∠FEC=90°，
∴∠DEF=∠CEB，  
∴△DEF∽△CEB．  
②解：∵△DEF∽△CEB，∴．   
∵DF=y，BC=2，AP=x， AB=4，
∴，DP=，CD=4． 
由∠PDC=90°，DE⊥CP，易证△DPC∽△EDC，
∴，∴，∴
的取值范围为0＜＜2． 
（2）当△EFC与△BEC面积之比为3︰16时，根据题意解得
AP长为或或．
点评：本题考查矩形，相似三角形，解答本题需要考生掌握矩形的性质，熟悉相似三角形的判定方法，会证明两个三角形相似