题目内容
【题目】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为直角边在AD的右侧作Rt△ADE，且AD=AE.
（1）填空：当点D在线段BC上时（与点B不重合），则线段CE、BD的数量关系应为________________,线段CE所在的直线与射线BC的位置关系为____________；
（2）如下图，当点D在线段BC的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，请证明；
（3）如下图，点D在BC的延长线上，如果AC＝
cm，△CDE的面积为4cm2时，求线段DE的长度.
【答案】⑴CE=BD,CE⊥BC；⑵仍然成立.（3）DE=6.
【解析】
（1）证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答；
（2）仿照（1）的证明方法解答；
（3）根据勾股定理求出BC，设CD=x，BD=CE=y，根据三角形的面积公式、勾股定理列式计算即可．
（1）∵∠BAC=90°，∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE，
∴CE=BD，∠ACE=∠ABD=45°，
∴CE⊥BD，
故答案为：相等；垂直；
（2）仍然成立，
理由如下：∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°+∠CAD，∠CAE=∠DAE+∠CAD=90°+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，∠ACE=∠B，
∵∠B+∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠ACB=90°，
∴∠BCE=90°，即CE⊥BD；
（3）∵∠BAC=90°，
∴由勾股定理得，BC＝
，
∵△CDE的面积为4，
∴
CDCE＝4，
设CD=x，BD=CE=y，则xy=8，
当点D在线段BC的延长线上时，BC＝BDCD＝
，
即y-x=2
，
∴x2+y2=（y-x）2+2xy=36，
∴DE＝
＝6．
