Question

如图所示，△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，过点D作BC的平行线交AC于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
求证：（1）△DCF是直角三角形；（2）DE=EF．

Answer 1

分析：（1）由DC平分∠ACB，CF平分∠ACM，根据角平分线的定义，可求得∠DCF=90°，即△DCF是直角三角形；
（2）由DF∥BC，DC平分∠ACB，CF平分∠ACM，易得△CDE与△CEF是等腰三角形，继而证得结论．

解答：证明：（1）∵DC平分∠ACB，CF平分∠ACM，
∴∠ACD=

1

2

∠ACB，∠ACF=

1

2

∠ACM，
∴∠DCF=∠ACD+∠ACF=

1

2

（∠ACB+∠ACM）=90°，
∴△DCF是直角三角形；

（2）∵DF∥BC，
∴∠EDC=∠BCD，∠F=∠FCM，
∵DC平分∠ACB，CF平分∠ACM，
∴∠ACD=∠BCD，∠ACF=∠FCM，
∴∠EDC=∠ACD，∠F=∠ACF，
∴ED=EC，EC=EF，
∴DE=EF．

点评：此题考查了等腰三角形的判定与性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．