Question

【题目】如图，在中，，为的平分线，点在上，经过点，两点，与，分别交于点，．

（1）求证：与相切；

（2）若，，求的半径和的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2），．

【解析】

（1）连接OD，根据等边对等角可得∠OAD=∠ODA，然后根据角平分线的定义可得∠CAD=∠OAD，从而证出∠CAD=∠ODA，根据平行线的判定定理可得OD∥AC，从而证出OD⊥BC，然后根据切线的判定定理即可证出结论；

（2）连接DF，根据勾股定理求出AD，然后根据相似三角形的判定定理证出△CAD∽△DAF，列出比例式即可求出AF，从而求出圆的半径，然后利用平行证出△BOD∽△BAC，然后列出比例式即可求出BC．

（1）证明：连接OD

∵OA=OD

∴∠OAD=∠ODA

∵为的平分线，

∴∠CAD=∠OAD

∴∠CAD=∠ODA

∴OD∥AC

∴∠ODB=∠ACB=90°

∴OD⊥BC

∴与相切；

（2）连接DF

在Rt△ACD中，AD==

∵AF为直径

∴∠ADF=90°

∴∠ACD=∠ADF

∵∠CAD=∠DAF

∴△CAD∽△DAF

∴

即

解得：AF=

∴的半径==，

∵OD∥AC

∴△BOD∽△BAC

∴

即

解得：BC=8