Question

【题目】如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF⊥AE于F，设PA=x。

（1）求证：△PFA∽△ABE；

（2）若以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似，试求x的值；

Answer 1

【答案】（1）、证明过程见解析；（2）、x=2或x=5.

【解析】

试题分析：（1）、根据正方形的性质得出∠PAF=∠AEB，根据PF⊥AE得出∠PFA=∠ABE=90°，从而说明三角形相似；（2）、分两种情况讨论：当∠PEF=∠EAB时，则有PE∥AB，则四边形ABEP为矩形，得出PA=EB=2；当∠PEF=∠AEB时，根据∠PAF=∠AEB得出∠PEF=∠PAF，则PE=PA，根据直角以及中点的性质求出AE、EF的长度，然后根据相似三角形的相似比得出答案.

试题解析：（1）、∵正方形ABCD，∴AD∥BC。

∴∠ABE=90°，

∴∠PAF=∠AEB，

又∵PF⊥AE，

∴∠PFA=∠ABE=90°．

∴△PFA∽△ABE；

（2）、情况1，当△EFP∽△ABE，且∠PEF=∠EAB时，则有PE∥AB，

∴四边形ABEP为矩形

∴PA=EB=2，即x=2

情况2，当△PFE∽△ABE，且∠PEF=∠AEB时，

∵∠PAF=∠AEB，

∴∠PEF=∠PAF

∴PE=PA

∵PF⊥AE，

∴点F为AE的中点。

∵，

∴。

∵，

即，

∴PE=5，即x=5。

∴满足条件的x的值为2或5。