Question

问题情境
已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？
数学模型
设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为y=2(x+

a

x

)(x＞0)．
探索研究
（1）我们可以借鉴学习函数的经验，先探索函数y=x+

1

x

(x＞0)的图象性质．
1填写下表，画出函数的图象：

x	…	1 4	1 3	1 2	1	2	3	4	…
y	…								…

②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；
③在求二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．同样通过配方也可以求函数y=x+

1

x

（x＞0）的最小值．y=x+

1

x

=(

x

)2+(

1 x

)2=(

x

)2+(

1 x

)2-2

x

•

1 x

+2

x

•

1 x

=(

x

-

1 x

)2+2≥2
当

x

-

1 x

=0，即x=1时，函数y=x+

1

x

（x＞0）的最小值为2．
解决问题
（2）解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．

Answer 1

（1）①当x=

1

4

时，y=

17

4

，
当x=

1

3

时，y=

10

3

，
当x=

1

2

时，y=

5

2

，
当x=1、2、3、4、时，则y值分别为：2，

5

2

，

10

3

，

17

4

．
∴函数y=x+

1

x

（x＞0）的图象如图．

②当0＜x＜1时，y随x增大而减小；当x＞1时，y随x增大而增大；当x=1时函数y=x+

1

x

（x＞0）的最小值为2．

（2）由③得，当该矩形的长为

a

时，
它的周长最小，最小值为y=2(

a

+

a

a

)=4

a

．