题目内容
已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=-2x2+bx+c的图象经过点A（-3，0）和点B（0，6）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）将这个二次函数的图象向右平移5个单位后的顶点设为C，直线BC与x轴相交于点D，求∠ABD的正弦值；
（3）在第（2）小题的条件下，联结OC，试探究直线AB与OC的位置关系，并说明理由．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）将这个二次函数的图象向右平移5个单位后的顶点设为C，直线BC与x轴相交于点D，求∠ABD的正弦值；
（3）在第（2）小题的条件下，联结OC，试探究直线AB与OC的位置关系，并说明理由．
（1）由题意得，
，
解得
，
所以，此二次函数的解析式为y=-2x2-4x+6；
（2）∵y=-2x2-4x+6=-2（x+1）2+8，
∴函数y=2x2-4x+6的顶点坐标为（-1，8），
∴向右平移5个单位的后的顶点C（4，8），
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则
，
解得
，
所以，直线BC的解析式为y=
x+6，
令y=0，则
x+6=0，
解得x=-12，
∴点D的坐标为（-12，0），
过点A作AH⊥BD于H，
OD=12，BD=
=
=6
，
AD=-3-（-12）=-3+12=9，
∵∠ADH=∠BDO，∠AHD=∠BOD=90°，
∴△ADH∽△BDO，
∴
=
，
即
=
，
解得AH=
，
∵AB=
=
=3
，
∴sin∠ABD=
=
=
；
（3）AB∥OC．
理由如下：方法一：∵BD=6
，BC=
=2
，AD=9，AO=3，
∴
=
=3，
∴AB∥OC；
方法二：过点C作CP⊥x轴于P，
由题意得，CP=8，PO=4，AO=3，BO=6，
∴tan∠COP=
=
=2，
tan∠BAO=
=
=2，
∴tan∠COP=tan∠BAO，
∴∠BAO=∠COP，
∴AB∥OC．
|
解得
|
所以，此二次函数的解析式为y=-2x2-4x+6；
（2）∵y=-2x2-4x+6=-2（x+1）2+8，
∴函数y=2x2-4x+6的顶点坐标为（-1，8），
∴向右平移5个单位的后的顶点C（4，8），
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则
|
解得
|
所以，直线BC的解析式为y=
| 1 |
| 2 |
令y=0，则
| 1 |
| 2 |
解得x=-12，
∴点D的坐标为（-12，0），
过点A作AH⊥BD于H，
OD=12，BD=
| OB2+OD2 |
| 62+122 |
| 5 |
AD=-3-（-12）=-3+12=9，
∵∠ADH=∠BDO，∠AHD=∠BOD=90°，
∴△ADH∽△BDO，
∴
| AH |
| OB |
| AD |
| BD |
即
| AH |
| 6 |
| 9 | ||
6
|
解得AH=
9
| ||
| 5 |
∵AB=
| OA2+OB2 |
| 32+62 |
| 5 |
∴sin∠ABD=
| AH |
| AB |
| ||||
3
|
| 3 |
| 5 |
（3）AB∥OC．
理由如下：方法一：∵BD=6
| 5 |
| (4-0)2+(8-6)2 |
| 5 |
∴
| BD |
| BC |
| AD |
| AO |
∴AB∥OC；
方法二：过点C作CP⊥x轴于P，
由题意得，CP=8，PO=4，AO=3，BO=6，
∴tan∠COP=
| CP |
| OP |
| 8 |
| 4 |
tan∠BAO=
| OB |
| OA |
| 6 |
| 3 |
∴tan∠COP=tan∠BAO，
∴∠BAO=∠COP，
∴AB∥OC．
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