题目内容

【题目】数学课上,李老师出示了如下框中的题目.


小敏与同桌小聪讨论后,进行了如下解答:
(1)特殊情况探索结论
当点E为AB的中点时,如图1,确定线段AE与的DB大小关系.请你直接写出结论:AEDB(填“>”,“<”或“=”).
(2)特例启发,解答题目
解:题目中,AE与DB的大小关系是:AEDB(填“>”,“<”或“=”).理由如下:
如图2,过点E作EF∥BC,交AC于点F,(请你完成以下解答过程)
(3)拓展结论,设计新题
在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在直线BC上,且ED=EC.若△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长(请你直接写出结果).

【答案】
(1)=
(2)=
(3)

解:分为四种情况:

如图1:

∵AB=AC=1,AE=2,

∴B是AE的中点,

∵△ABC是等边三角形,

∴AB=AC=BC=1,△ACE是直角三角形(根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半),

∴∠ACE=90°,∠AEC=30°,

∴∠D=∠ECB=∠BEC=30°,∠DBE=∠ABC=60°,

∴∠DEB=180°﹣30°﹣60°=90°,

即△DEB是直角三角形.

∴BD=2BE=2(30°所对的直角边等于斜边的一半),

即CD=1+2=3.

如图2,

过A作AN⊥BC于N,过E作EM⊥CD于M,

∵等边三角形ABC,EC=ED,

∴BN=CN= BC= ,CM=MD= CD,AN∥EM,

∴△BAN∽△BEM,

∵△ABC边长是1,AE=2,

=

∴MN=1,

∴CM=MN﹣CN=1﹣ =

∴CD=2CM=1;

如图3,

∵∠ECD>∠EBC(∠EBC=120°),而∠ECD不能大于120°,否则△EDC不符合三角形内角和定理,

∴此时不存在EC=ED;

如图4

∵∠EDC<∠ABC,∠ECB>∠ACB,

又∵∠ABC=∠ACB=60°,

∴∠ECD>∠EDC,

即此时ED≠EC,

∴此时情况不存在,

答:CD的长是3或1.


【解析】解:(1.)答案为:=.
(2.)答案为:=.
证明:在等边△ABC中,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,AB=BC=AC,
∵EF∥BC,
∴∠AEF=∠ABC,∠AFE=∠ACB,
∴∠AEF=∠AFE=∠BAC=60°,
∴AE=AF=EF,
∴AB﹣AE=AC﹣AF,
即BE=CF,
∵∠ABC=∠EDB+∠BED,∠ACB=∠ECB+∠FCE,
∵ED=EC,
∴∠EDB=∠ECB,
∵∠EBC=∠EDB+∠BED,∠ACB=∠ECB+∠FCE,
∴∠BED=∠FCE,
在△DBE和△EFC中

∴△DBE≌△EFC(SAS),
∴DB=EF,
∴AE=BD.
(1)根据等边三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠D=∠ECB=30°,∠ABC=60°,求出∠D=∠DEB=30°,推出DB=BE=AE即可得到答案;(2)作EF∥BC,证出等边三角形AEF,再证△DBE≌△EFC即可得到答案;(3)分为四种情况:画出图形,根据等边三角形性质求出符合条件的CD即可.

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