Question

【题目】抛物线y=﹣ （x﹣1）2+3与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C．

（1）如图1．求点A的坐标及线段OC的长；
（2）点P在抛物线上，直线PQ∥BC交x轴于点Q，连接BQ．
①若含45°角的直角三角板如图2所示放置．其中，一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上．求直线BQ的函数解析式；
②若含30°角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点D在直线BQ上，另一个顶点E在PQ上，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把x=0代入抛物线得：y= ，

∴点A（0， ）．

抛物线的对称轴为x=1，

∴OC=1

（2）

解：①如图：B（1，3）

分别过点D作DM⊥x轴于M，DN⊥PQ于点N，

∵PQ∥BC，

∴∠DMQ=∠DNQ=∠MQN=90°，

∴四边形DMQN是矩形．

∵△CDE是等腰直角三角形，

∴DC=DE，∠CDM=∠EDN

即 ，

∴△CDM≌△EDN（AAS）

∴DM=DN，

∴矩形DMQN是正方形，

∴∠BQC=45°

∴CQ=CB=3

∴Q（4，0）

设BQ的解析式为：y=kx+b，

把B（1，3），Q（4，0）代入解析式得：k=﹣1，b=4．

所以直线BQ的解析式为：y=﹣x+4．

②当点P在对称轴右侧，如图：

过点D作DM⊥x轴于M，DN⊥PQ于N，

∵∠CDE=90°，∴∠CDM=∠EDN

∴△CDM∽△EDN

当∠DCE=30°， =

又DN=MQ

∴ =

∴ = ，BC=3，CQ=

∴Q（1+ ，0）

∴P1（1+ ， ）

当∠DCE=60°，点P2（1+3 ，﹣ ）．

当点P在对称轴的左边时，由对称性知：

P3（1﹣ ， ），P4（1﹣3 ，﹣ ）

综上所述：P1（1+ ， ），P2（1+3 ，﹣ ），P3（1﹣ ， ），P4（1﹣3 ，﹣ ）．

【解析】（1）把x=0代入抛物线求出y的值确定点A的坐标，求出抛物线的对称轴得到OC的长．（2）①由△CDE是等腰直角三角形，分别过点D作x轴和PQ的垂线，通过三角形全等得到∠DQO=45°，求出点Q的坐标，然后用待定系数法求出BQ的解析式．②分点P在对称轴的左右两边讨论，根据相似三角形先求出点Q的坐标，然后代入抛物线求出点P的坐标．