题目内容
【题目】数学课上,老师出示了如下的题目:如图(1),在等边△ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC,试判断AE和BD的大小关系,并说明理由.
小敏与同桌小聪讨论后,进行了如下解答:
(1)特殊情况,探索结论
当点E为AB的中点时,如图(2),确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:AE DB(填“>”,“<”或“=”);
(2)特例启发,解答题目
如图(1),试判断AE和BD的大小关系,并说明理由;
(3)拓展结论,设计新题
在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在直线BC上,且ED=EC;若△ABC的边长为1,AE=2,请画出图形,求CD的长.
【答案】(1)=;(2)详见解析;(3)1或3.
【解析】
(1)根据等边三角形的性质得到∠BCE=∠ACE=30°,∠ABC=60°,根据等腰三角形的判定定理BD=BE,根据点E为AB的中点解答;
(2作EF∥BC交AC于F.证明△DBE≌△EFC,推出BD=EF=AE,推出BD=AE,即可得到结论;
(3)分两种情形讨论,当E在BA的延长线上时,作EF∥AC交BD的延长线于F,易证△EBD≌△EFC,可得BD=CF=AE=2,CD=BD﹣BC=2﹣1=1;当E在AB的延长线上时,作EF∥BC交AC的延长线于F,易证△EBD≌△CFE,可得BD=EF=AE=2,CD=BD+BC=2+1=3.由此即可解决问题.
∵△ABC是等边三角形,AE=EB,∴∠BCE=∠ACE=30°,∠ABC=60°.
∵ED=EC,∴∠D=∠ECD=30°.
∵∠EBC=∠D+∠BED,∴∠D=∠BED=30°,∴BD=BE=AE.
故答案为:=;
(2)结论:AE=BD.
理由如下:如图(2),作EF∥BC交AC于F.
∵EF∥BC,∴∠AEF=∠B=60°,∠ECD=∠CEF,∴∠D=∠CEF.
∵∠AEF=∠B=60°,∠A=60°,∴△AEF是等边三角形,∴AE=EF=AF,∠AFE=60°,∴∠EFC=∠DBE=120°.
∵AB=AC,AE=AF,∴BE=CF.
∵ED=EC,∴∠D=∠ECD.
在△DBE和△FEC中,∵,∴△DBE≌△EFC(AAS),∴BD=EF,∴BD=AE.
(3)如图(4)中,当E在BA的延长线上时,作EF∥AC交BD的延长线于F,则△EBD≌△EFC(AAS),∴BD=CF=AE=2,CD=BD﹣BC=2﹣1=1.
如图(5)中,当E在AB的延长线上时,作EF∥BC交AC的延长线于F,则△EBD≌△CFE(AAS),∴BD=EF=AE=2,CD=BD+BC=2+1=3.
综上所述:CD的长为1或3.
故答案为:1或3.