Question

【题目】如图，折叠边长为的正方形，使点落在边上的点处（不与点，重合），点落在点处，折痕分别与边、交于点、，与边交于点.证明：

（1）；

（2）若为中点，则；

（3）的周长为.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.

【解析】

（1）根据折叠和正方形的性质结合相似三角形的判定定理即可得出答案；

（2）设BE=x，利用勾股定理得出x的值，再利用相似三角形的性质证明即可得出答案；

（3）设BM=x，AM=a-x，利用勾股定理和相似三角形的性质即可得出答案.

证明：（1）∵四边形是正方形，

∴，

∴，

∵为折痕，

∴，

∴，

∴，

在与中

∵，，

∴；

（2）∵为中点，

∴，

设，则，

在中，，

∴，即，

∴，

∴，，

由（1）知，，

∴，

∴，，

∴；

（3）设，则，，

在中，，

∴，即，

解得：，

由（1）知，，

∴，

∵，

∴.