题目内容

如图所示,Rt△ABC中,已知∠BAC=90°,AB=AC=2,点D在BC上运动(不能到达点B,C),过点D作∠ADE=45°,DE交AC于点E.
(1)求证:△ABD△DCE;
(2)当△ADE是等腰三角形时,求AE的长.
(1)证明:Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,
∴∠B=∠C=45°.
∵∠ADC=∠B+∠BAD,∠ADC=∠ADE+∠EDC,
∴∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD.
又∵∠ADE=45°,
∴45°+∠EDC=45°+∠BAD.
∴∠EDC=∠BAD.
∴△ABD△DCE.

(2)讨论:①若AD=AE时,∠DAE=90°,此时D点与点B重合,不合题意.
②若AD=DE时,△ABD与△DCE的相似比为1,此时△ABD≌△DCE,
于是AB=AC=2,BC=2
2
,AE=AC-EC=2-BD=2-(2
2
-2)=4-2
2

③若AE=DE,此时∠DAE=∠ADE=45°,
如下图所示易知AD⊥BC,DE⊥AC,且AD=DC.由等腰三角形的三线合一可知:AE=CE=
1
2
AC=1.
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