题目内容
【题目】已知,如图①,△ABC、△AED是两个全等的等腰直角三角形(其顶点B、E重合),∠BAC=∠AED=90°,O为BC的中点,F为AD的中点,连接OF.
(1)问题发现
①如图①,线段OF与EC的数量关系为;
②将△AED绕点A逆时针旋转45°,如图②,OF与EC的数量关系为;
(2)类比延伸
将图①中△AED绕点A逆时针旋转到如图③所示的位置,请判断线段OF与EC的数量关系,并给出证明.
(3)拓展探究
将图①中△AED绕点A逆时针旋转,旋转角为α,0°≤α≤90°,AD= ,△AED在旋转过程中,存在△ACD为直角三角形,请直接写出线段CD的长.
【答案】
(1)OF= EC;OF= EC
(2)
解:OF= EC.
证明:在等腰直角△ADE中,F为AD的中点,
∴AF= AD= AE,
在等腰直角△ABC中,O为BC的中点,
如图1,
连接AO,
∴AO= AC,∠BAO=∠CAO=45°,
∵∠DAE=45°,
∴∠DAE=∠CAO,
∴∠DAE﹣∠EAO=∠CAO﹣∠EAO,
即∠DAO=∠CAE,
∵AE=AC,
∴AF=AO,
∴ = ,
∴△AFO∽△AEC,
∴ = = ,
∴OF= EC,
(3)
解:∵△ABC和△AED是两个全等的等腰直角三角形,
∴AD=BC= ,
∴ED=AE=AB=AC=1,
△ACD为直角三角形时,分两种情况:
①当AD与AB重合时,如图2,
连接CD,
∵△ACD为直角三角形,AD⊥AC,
即将△ADE逆时针旋转45°,
∵AD= ,AC=1,
∴由勾股定理可得CD= = ;
②当AE与AC重合时,如图3,
△ACD为直角三角形,AC⊥CD,
即将△ADE逆时针旋转90°,此时CD=AC=1.
即:CD的长为 或1.
【解析】解:(1)①∵△ABC、△AED是两个全等的等腰直角三角形,
∴AD=BC,
∵O为BC的中点,F为AD的中点,
∴AF=OC,
∵∠BAC=∠AED=90°,
∴AD∥BC,
∴四边形AFOC是平行四边形,
∴OF=AC= EC,
故答案:OF= EC;②如图,
∵AO= AC,∠BAO=∠CAO=45°,
∵∠DAE=45°,
∴∠DAE=∠CAO,
∴∠DAE﹣∠EAO=∠CAO﹣∠EAO,
即∠DAO=∠CAE,
∵AE=AC,
∴AF=AO,
∴ = ,
∴△AFO∽△AEC,
∴ = = ,
∴OF= EC,
故答案OF= EC
【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的应用的相关知识,掌握测高:测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决;测距:测量不能到达两点间的举例,常构造相似三角形求解.