题目内容

【题目】已知,如图①,△ABC、△AED是两个全等的等腰直角三角形(其顶点B、E重合),∠BAC=∠AED=90°,O为BC的中点,F为AD的中点,连接OF.

(1)问题发现
①如图①,线段OF与EC的数量关系为
②将△AED绕点A逆时针旋转45°,如图②,OF与EC的数量关系为

(2)类比延伸
将图①中△AED绕点A逆时针旋转到如图③所示的位置,请判断线段OF与EC的数量关系,并给出证明.

(3)拓展探究
将图①中△AED绕点A逆时针旋转,旋转角为α,0°≤α≤90°,AD= ,△AED在旋转过程中,存在△ACD为直角三角形,请直接写出线段CD的长.

【答案】
(1)OF= EC;OF= EC
(2)

解:OF= EC.

证明:在等腰直角△ADE中,F为AD的中点,

∴AF= AD= AE,

在等腰直角△ABC中,O为BC的中点,

如图1,

连接AO,

∴AO= AC,∠BAO=∠CAO=45°,

∵∠DAE=45°,

∴∠DAE=∠CAO,

∴∠DAE﹣∠EAO=∠CAO﹣∠EAO,

即∠DAO=∠CAE,

∵AE=AC,

∴AF=AO,

=

∴△AFO∽△AEC,

= =

∴OF= EC,


(3)

解:∵△ABC和△AED是两个全等的等腰直角三角形,

∴AD=BC=

∴ED=AE=AB=AC=1,

△ACD为直角三角形时,分两种情况:

①当AD与AB重合时,如图2,

连接CD,

∵△ACD为直角三角形,AD⊥AC,

即将△ADE逆时针旋转45°,

∵AD= ,AC=1,

∴由勾股定理可得CD= =

②当AE与AC重合时,如图3,

△ACD为直角三角形,AC⊥CD,

即将△ADE逆时针旋转90°,此时CD=AC=1.

即:CD的长为 或1.


【解析】解:(1)①∵△ABC、△AED是两个全等的等腰直角三角形,
∴AD=BC,
∵O为BC的中点,F为AD的中点,
∴AF=OC,
∵∠BAC=∠AED=90°,
∴AD∥BC,
∴四边形AFOC是平行四边形,
∴OF=AC= EC,
故答案:OF= EC;②如图,

∵AO= AC,∠BAO=∠CAO=45°,
∵∠DAE=45°,
∴∠DAE=∠CAO,
∴∠DAE﹣∠EAO=∠CAO﹣∠EAO,
即∠DAO=∠CAE,
∵AE=AC,
∴AF=AO,
=
∴△AFO∽△AEC,
= =
∴OF= EC,
故答案OF= EC
【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的应用的相关知识,掌握测高:测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决;测距:测量不能到达两点间的举例,常构造相似三角形求解.

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