Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，BC=8，D在边BC上，E在线段DC上，DE=4，△DEF是等边三角形，边DF交边AB于点M，边EF交边AC于点N．

（1）求证：△BMD∽△CNE；
（2）当BD为何值时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切？
（3）设BD=x，五边形ANEDM的面积为y，求y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；当x为何值时，y有最大值？并求出y的最大值．

Answer 1

（1）通过证明角相等，从而证明△BMD∽△CNE。
（2）当BD=16﹣8时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切
（3）y=﹣（x﹣2）²+（0≤x≤4）
当x=2时，y有最大值，最大值为．

试题分析：（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠FDE=∠FED=60°，
∴∠MDB=∠NEC=120°，
∴∠BMD=∠B=∠C=∠CNE=30°，
∴△BMD∽△CNE；
（2）过点M作MH⊥BC，
∵以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切，
∴MH=MF，
设BD=x，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠FDE=60°，
∵∠B=30°，
∴∠BMD=∠FDE﹣∠B=60°﹣30°=30°=∠B，
∴DM=BD=x，
∴MH=MF=DF﹣MD=4﹣x，
在Rt△DMH中，sin∠MDH=sin60°===，
解得：x=16﹣8，
∴当BD=16﹣8时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切；
（3）过点M作MH⊥BC于H，过点A作AK⊥BC于K，
∵AB=AC，
∴BK=BC=×8=4，
∵∠B=30°，
∴AK=BK•tan∠B=4×=，
∴S_△ABC=BC•AK=×8×=，
由（2）得：MD=BD=x，
∴MH=MD•sin∠MDH=x，
∴S_△BDM=•x•x=x²，
∵△DEF是等边三角形且DE=4，BC=8，
∴EC=BC﹣BD﹣DE=8﹣x﹣4=4﹣x，
∵△BMD∽△CNE，
∴S_△BDM：S_△CEN=（）²=，
∴S_△CEN=（4﹣x）²，
∴y=S_△ABC﹣S_△CEN﹣S_△BDM=﹣x²﹣（4﹣x）²=﹣x²+2x+=﹣（x﹣2）²+（0≤x≤4），
当x=2时，y有最大值，最大值为．


点评：中考压轴题，综合性较强，难度较大，注意数形结合思想与方程思想的应用