Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，AB是⊙O的直径，⊙O与BC交于点D，⊙O与AC交于点E，DF⊥AC于F，连接DE．

（1）求证：D为BC中点；

（2）求证：DF与⊙O相切；

（3）若⊙O的半径为5，tan∠C＝，则DE＝　 　．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）相切（3）6

【解析】

（1）连接AD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据等腰三角形的性质即可得到结论；

（2）连接OD，根据平行线的性质得到∠DFC＝∠ODF，根据切线的判定定理即可得到结论；

（3）根据平行线的性质和圆内接四边形的性质得到∠B＝∠EDO，根据余角的性质得到∠EDF＝∠CDF，得到DE＝CD，解直角三角形即可得到结论．

（1）证明：连接AD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∴AD⊥BC，

∵AB＝AC，

∴D为BC中点；

（2）连接OD，

∵AO＝BO，BD＝CD，

∴OD∥AC，

∴∠DFC＝∠ODF，

∵DF⊥AC，

∴∠ODF＝90°，

∴OD⊥DF，

∴DF与⊙O相切；

（3）∵OD⊥DF，DF⊥AC，

∴AC∥OD，

∴∠AED+∠ODE＝180°，

∵∠AED+∠B＝180°，

∴∠B＝∠EDO，

∵∠EDF+∠EDO＝∠CDF+∠ODB＝90°，

∴∠EDF＝∠CDF，

∴DE＝CD，

∵⊙O的半径为5，tan∠C＝，

∴AB＝10，BD＝6，

∴DE＝CD＝BD＝6．

故答案为：6．