题目内容

【题目】已知顶点为A的抛物线y=a(x-)2-2经过点B(-,2),点C(,2).

(1)求抛物线的表达式;

(2)如图1,直线AB与x轴相交于点M,与y轴相交于点E,抛物线与y轴相交于点F,在直线AB上有一点P,若∠OPM=∠MAF,求△POE的面积;

(3)如图2,点Q是折线A-B-C上一点,过点Q作QN∥y轴,过点E作EN∥x轴,直线QN与直线EN相交于点N,连接QE,将△QEN沿QE翻折得到△QEN′,若点N′落在x轴上,请直接写出Q点的坐标.

【答案】(1) y=(x-)2-2;(2)△POE的面积为;(3)点Q的坐标为(-)或(-,2)或(,2).

【解析】

(1)将点B坐标代入解析式求得a的值即可得;

(2)由∠OPM=MAFOPAF,据此证OPE∽△FAE=

,即OP=FA,设点P(t,-2t-1),列出关于t的方程解之可得;

(3)分点QAB上运动、点QBC上运动且Qy轴左侧、点QBC上运动且点Qy轴右侧这三种情况分类讨论即可得.

(1)把点B(-,2)代入y=a(x-)2-2,

解得a=1,

∴抛物线的表达式为y=(x-)2-2,

(2)y=(x-)2-2A(,-2),

设直线AB表达式为y=kx+b,代入点A,B的坐标得

解得

∴直线AB的表达式为y=-2x-1,

易求E(0,-1),F(0,-),M(-,0),

若∠OPM=MAF,

OPAF,

∴△OPE∽△FAE,

OP=FA=

设点P(t,-2t-1),则

解得t1=-,t2=-

由对称性知,当t1=-时,也满足∠OPM=MAF,

t1=-,t2=-都满足条件

∵△POE的面积=OE·|t|,

∴△POE的面积为

(3)如图,若点QAB上运动,过N′作直线RSy轴,交QR于点R,交NE的延长线于点S,

Q(a,-2a-1),则NE=-a,QN=-2a.

由翻折知QN′=QN=-2a,N′E=NE=-a,

由∠QN′E=N=90°易知QRN′∽△N′SE,

,即===2,

QR=2,ES=

NE+ES=NS=QR可得-a+=2,

解得a=-

Q(-),

如图,若点QBC上运动,且Qy轴左侧,过N′作直线RSy轴,交BC于点R,交NE的延长线于点S.

NE=a,则N′E=a.

易知RN′=2,SN′=1,QN′=QN=3,

QR=,SE=-a.

RtSEN′中,(-a)2+12=a2

解得a=

Q(-,2),

如图,若点QBC上运动,且点Qy轴右侧,过N′作直线RSy轴,交BC于点R,交NE的延长线于点S.

NE=a,则N′E=a.

易知RN′=2,SN′=1,QN′=QN=3,

QR=,SE=-a.

RtSEN′中,(-a)2+12=a2

解得a=

Q(,2).

综上,点Q的坐标为(-)(-,2)(,2).

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