题目内容
【题目】已知顶点为A的抛物线y=a(x-)2-2经过点B(-,2),点C(,2).
(1)求抛物线的表达式;
(2)如图1,直线AB与x轴相交于点M,与y轴相交于点E,抛物线与y轴相交于点F,在直线AB上有一点P,若∠OPM=∠MAF,求△POE的面积;
(3)如图2,点Q是折线A-B-C上一点,过点Q作QN∥y轴,过点E作EN∥x轴,直线QN与直线EN相交于点N,连接QE,将△QEN沿QE翻折得到△QEN′,若点N′落在x轴上,请直接写出Q点的坐标.
【答案】(1) y=(x-)2-2;(2)△POE的面积为或;(3)点Q的坐标为(-,)或(-,2)或(,2).
【解析】
(1)将点B坐标代入解析式求得a的值即可得;
(2)由∠OPM=∠MAF知OP∥AF,据此证△OPE∽△FAE得=
==,即OP=FA,设点P(t,-2t-1),列出关于t的方程解之可得;
(3)分点Q在AB上运动、点Q在BC上运动且Q在y轴左侧、点Q在BC上运动且点Q在y轴右侧这三种情况分类讨论即可得.
(1)把点B(-,2)代入y=a(x-)2-2,
解得a=1,
∴抛物线的表达式为y=(x-)2-2,
(2)由y=(x-)2-2知A(,-2),
设直线AB表达式为y=kx+b,代入点A,B的坐标得,
解得,
∴直线AB的表达式为y=-2x-1,
易求E(0,-1),F(0,-),M(-,0),
若∠OPM=∠MAF,
∴OP∥AF,
∴△OPE∽△FAE,
∴,
∴OP=FA= ,
设点P(t,-2t-1),则,
解得t1=-,t2=-,
由对称性知,当t1=-时,也满足∠OPM=∠MAF,
∴t1=-,t2=-都满足条件,
∵△POE的面积=OE·|t|,
∴△POE的面积为或;
(3)如图,若点Q在AB上运动,过N′作直线RS∥y轴,交QR于点R,交NE的延长线于点S,
设Q(a,-2a-1),则NE=-a,QN=-2a.
由翻折知QN′=QN=-2a,N′E=NE=-a,
由∠QN′E=∠N=90°易知△QRN′∽△N′SE,
∴==,即===2,
∴QR=2,ES= ,
由NE+ES=NS=QR可得-a+=2,
解得a=-,
∴Q(-,),
如图,若点Q在BC上运动,且Q在y轴左侧,过N′作直线RS∥y轴,交BC于点R,交NE的延长线于点S.
设NE=a,则N′E=a.
易知RN′=2,SN′=1,QN′=QN=3,
∴QR=,SE=-a.
在Rt△SEN′中,(-a)2+12=a2,
解得a=,
∴Q(-,2),
如图,若点Q在BC上运动,且点Q在y轴右侧,过N′作直线RS∥y轴,交BC于点R,交NE的延长线于点S.
设NE=a,则N′E=a.
易知RN′=2,SN′=1,QN′=QN=3,
∴QR=,SE=-a.
在Rt△SEN′中,(-a)2+12=a2,
解得a=,
∴Q(,2).
综上,点Q的坐标为(-,)或(-,2)或(,2).