Question

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，过点A作AD⊥CD于点D，交⊙O于点E，且=．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若tan∠CAB=，BC=3，求DE的长．

Answer 1

(1)证明见解析；（2）.

试题分析：（1）连结OC，由，根据圆周角定理得∠1=∠2，而∠1=∠OCA，则∠2=∠OCA，则可判断OC∥AD，由于AD⊥CD，所以OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；
（2）连结BE交OC于F，由AB是⊙O的直径得∠ACB=90°，在Rt△ACB中，根据正切的定义得AC=4，再利用勾股定理计算出AB=5，然后证明Rt△ABC∽Rt△ACD，利用相似比先计算出AD=，再计算出CD=；根据垂径定理的推论由得OC⊥BE，BF=EF，于是可判断四边形DEFC为矩形，所以EF=CD=，则BE=2EF=，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理计算出AE=，再利用DE=AD﹣AE求解．
试题解析：（1）证明：连结OC，如图，

∵，
∴∠1=∠2，
∵OC=OA，
∴∠1=∠OCA，
∴∠2=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连结BE交OC于F，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，tan∠CAB=，
而BC=3，
∴AC=4，
∴AB=，
∵∠1=∠2，
∴Rt△ABC∽Rt△ACD，
∴，即，解得，
∵，即，解得，
∵，
∴OC⊥BE，BF=EF，
∴四边形DEFC为矩形，
∴，
∴，
∵AB为直径，
∴∠BEA=90°，
在Rt△ABE中， ，
∴．
【考点】切线的判定．