Question

如图，⊙O₁与⊙O₂外切于点P，外公切线AB切⊙O₁于点A，切⊙O₂于点B，
（1）求证：AP⊥BP；
（2）若⊙O₁与⊙O₂的半径分别为r和R，求证：

AP2

BP2

=

r

R

；
（3）延长AP交⊙O₂于C，连接BC，若r：R=2：3，求tan∠C的值．

Answer 1

分析：（1）连接O₂B，O₁A，则AO₁⊥AB，O₂B⊥AB，所以AO₁∥O₂B，过点P作两圆的公切线PF，交于AB于点F，作O₁E⊥AP，O₂D⊥BP．由垂径定理可证得，点E，点D分别是AP，BP的中点，由弦切角定理和平行线的性质，可得到∠FPB+∠FPA=∠APB=90°，即AP⊥BP；
（2）设∠ABP=∠BO₂D=∠APO₁=β，利用正切的概念，求得（tanβ）²=

AP2

BP2

=

r

R

；
（3）由于∠ABP=∠C，故由（2）的结果，可得到tan∠C的值．

解答：（1）证明：如图，连接O₂B，O₁A，则AO₁⊥AB，O₂B⊥AB，所以AO₁∥O₂B，
过点P作两圆的公切线PF，交于AB于点F，作O₁E⊥AP，O₂D⊥BP．
根据垂径定理，得点E，点D分别是AP，BP的中点．
根据弦切角定理知，∠ABP=∠FPB=

1

2

∠BO₂P，∠BAP=∠FPA=

1

2

∠AO₁P．
∵AO₁∥O₂B，
∴∠AO₁P+∠BO₂P=180°，
∴∠FPB+∠FPA=∠APB=90°，
即AP⊥BP；

（2）证明：∵△APB是直角三角形．
∴∠ABP=∠BO₂D=∠APO₁．
设∠ABP=∠BO₂D=∠APO₁=β，则有sinβ=

BP

2R

，cosβ=

AP

2r

．
∴tanβ=

r

R

•

BP

AP

=

r

R

•

1

tanβ

，
∴（tanβ）²=

AP2

BP2

=

r

R

，
∴

AP2

BP2

=

r

R

．

（3）解：∵∠ABP=∠C，
∴tan∠C=tanβ=tan∠ABP=

r R

=

6

3

．

点评：本题综合性较强，综合利用了切线的性质、垂径定理、弦切角定理、平行线的性质、直角三角形的性质、锐角三角函数的概念等知识点，要灵活应用各知识点．