Question

如图，在?ABCD中，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，交CD于点E、F，AE、BF相交于点M．
（1）试说明：AE⊥BF；
（2）判断线段DF与CE的大小关系，并予以说明．

Answer 1

解：
（1）方法一：如图①，
∵在?ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°．
∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，
∴∠DAB=2∠BAE，∠ABC=2∠ABF．
∴2∠BAE+2∠ABF=180°．
即∠BAE+∠ABF=90°．
∴∠AMB=90°．
∴AE⊥BF．
方法二：如图②，延长BC、AE相交于点P，
∵在?ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAP=∠APB．
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAP=∠PAB．
∴∠APB=∠PAB．
∴AB=BP．
∵BF平分∠ABP，
∴AP⊥BF，
即AE⊥BF．

（2）方法一：线段DF与CE是相等关系，即DF=CE，
∵在?ABCD中，CD∥AB，
∴∠DEA=∠EAB．
又∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB．
∴∠DEA=∠DAE．
∴DE=AD．
同理可得，CF=BC．
又∵在?ABCD中，AD=BC，
∴DE=CF．
∴DE-EF=CF-EF．
即DF=CE．
方法二：如图，延长BC、AE设交于点P，延长AD、BF相交于点O，
∵在?ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAP=∠APB．
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAP=∠PAB．
∴∠APB=∠PAB．
∴BP=AB．
同理可得，AO=AB．
∴AO=BP．
∵在?ABCD中，AD=BC，
∴OD=PC．
又∵在?ABCD中，DC∥AB，
∴△ODF∽△OAB，△PCE∽△PBA．
∴=，=．
∴DF=CE．
分析：（1）因为AE，BF分别是∠DAB，∠ABC的角平分线，那么就有∠MAB=∠DAB，∠MBA=∠ABC，而∠DAB与∠ABC是同旁内角互补，所以，能得到∠MAB+∠MBA=90°，即得证．
（2）两条线段相等．利用平行四边形的对边平行，以及角平分线的性质，可以得到△ADE和△BCF都是等腰三角形，那么就有CF=BC=AD=DE，再利用等量减等量差相等，可证．
点评：本题利用了角平分线的性质，平行四边形的性质以及等量减等量差相等等知识．