题目内容
【题目】综合与实践:(1)如图，已知：在等腰直角
中，
，
，直线
经过点
，
直线，
直线，垂足分别为点
、
.小明观察图形特征后猜想线段
、
和
之间存在
的数量关系，请你判断他的猜想是否正确，并说明理由.
（2）如图，将(1)中的条件改为：为等边三角形，、、三点都在直线上，并且有
，请问结论是否成立？并说明理由.
(3)如图，若将(1)中的三角形变形为一般的等腰三角形，中，，
，其中
为任意锐角或钝角，、、三点都在直线上.问：满足什么条件时，结论仍成立？直接写出条件即可.
【答案】（1）小明的猜想是正确的，理由见解析；（2）
仍成立，理由见解析；（3）当
时，结论成立
【解析】
（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA，则AE=BD，AD=CE，于是DE=AE+AD=BD+CE；
（2）利用∠BDA=∠BAC=α，则∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，得出∠CAE=∠ABD，进而得出△ADB≌△CEA即可得出答案．
（3）如图3中，结论：当∠ADB=∠BAC=∠AEC时，DE=BD+EC．证明方法类似（2）．
解：(1)小明的猜想是正确的.
理由：如图1，
直线
，
直线，
，
，
，
，
在
和
中，
，
，
，
，
；
(2)结论仍成立；
理由：如图2，
为等边三角形
、
，
在和中，
，
，，
.
(3)当时，结论DE=BD+EC仍成立.
理由：∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，
∴∠CAE=∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE．
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