题目内容
【题目】如图,△ABC中,∠ACB=90°,AB=5cm,BC=4cm,若点P从点A出发,以每秒1cm的速度沿折线A﹣B﹣C﹣A运动,设运动时间为t(t>0)秒.
(1)AC= cm;
(2)若点P恰好在AB的垂直平分线上,求此时t的值;
(3)在运动过程中,当t为何值时,△ACP是以AC为腰的等腰三角形(直接写出结果)?
【答案】(1)3;(2)t为秒或秒;(3)t为3秒或秒或6秒.
【解析】
(1)根据勾股定理可以得到,代入数值计算即可;
(2)点P恰好在AB的垂直平分线上时,分两种情况讨论:①当点P运动到点D时;②当点P运动到点E时,根据图形计算即可;
(3)若△ACP是等腰三角形,分情况讨论:①当AP=AC时;②当CA=CP时,利用勾股定理,三角形面积相等来计算即可.
(1)如甲图所示:
∵∠ACB=90°,
∴△ABC是直角三角形,
在ABC中,由勾股定理得,
,
又AB=5cm,BC=4cm,
,
故答案为3;
(2)点P恰好在AB的垂直平分线上时,
如乙图所示:
∵DE是线段AB的垂直平分线,
∴AD=BD=,AE=BE,
①当点P运动到点D时,
∵AB=5cm,点P从点A出发,以每秒1cm的速度运动,
∴=秒,
②当点P运动到点E时,设BE=x,则EC=4﹣x,
∵AE=BE,
∴AE=x,
在Rt△AEC中,由勾股定理得,
∵AC=3,AE=x,EC=4﹣x,
∴32+(4﹣x)2=, 解得:x=,
∴AB+BE=,
∴秒,
即点P在AB的垂直平分线上时,运动时间t为秒或秒,
故答案为:秒或秒;
(3)运动过程中,△ACP是等腰三角形,
①当AP=AC时,如丙图(1)所示:
∵AC=3,
∴AP=3,
∴=3秒,
②当CA=CP时,如丙图(2)所示:
若点P运动到时,AC=C,过点C作CH⊥AB
交AB于点H,
∵,
AB=5cm,BC=4cm,AC=3cm,
∴CH=cm,
在Rt△AHC中,由勾股定理得,
AH=cm,
又∵A=2AH=cm,
∴秒,
若点P运动到时,AC=C,
∵AC=3cm,
∴C=3cm,
又∵B=BC﹣C,
∴B=1cm,
∴AP+B=5+1=6cm,
∴=6秒,
综合所述,△ACP是以AC为腰的等腰三角形时,t为3秒或秒或6秒,
故答案为:3秒或秒或6秒.